Question Number 168696 by qaz last updated on 16/Apr/22
$$\mathrm{Calculate}\:\:\:::\:\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\int_{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}−\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{8e}\:\:\:,\mathrm{Don}'\mathrm{t}\:\mathrm{use}\:\mathrm{L}'\mathrm{Hospital}'\mathrm{s}\:\mathrm{rule}. \\ $$
Answered by aleks041103 last updated on 17/Apr/22
$${let}\:{f}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} {e}^{{t}^{\mathrm{2}} } {dt} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)={f}\left(\mathrm{0}\right)+{f}'\left(\mathrm{0}\right){x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{f}''\left(\mathrm{0}\right){x}^{\mathrm{2}} +... \\ $$