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Question Number 16881 by Tinkutara last updated on 27/Jun/17

The quadratic polynomials p(x) = a(x − 3)^2 + bx + 1 and q(x) = 2x^2 + c(x − 2) + 13 are equal for all values of x. Find the values of a, b, and c.

$$\mathrm{The}\:\mathrm{quadratic}\:\mathrm{polynomials} \\ $$$${p}\left({x}\right)\:=\:{a}\left({x}\:−\:\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:{bx}\:+\:\mathrm{1}\:\mathrm{and} \\ $$$${q}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{c}\left({x}\:−\:\mathrm{2}\right)\:+\:\mathrm{13}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:{x}.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:{a}, \\ $$$${b},\:\mathrm{and}\:{c}. \\ $$

Answered by RasheedSoomro last updated on 27/Jun/17

p(0)=q(0)⇒9a+1=−2c+13 9a+2c=12.........(i) p(3)=q(3)⇒3b+1=18+c+13 3b−c=30..........(ii) p(2)=q(2)⇒a+2b+1=8+13 a+2b=20...........(iii) (ii) ⇒c=3b−30 (i)⇒9a+2(3b−30)=12⇒3a+2b=24.........(iv) (iii),(iv)⇒3(20−2b)+2b=24⇒−4b=24−60 b=((−36)/(−4))=9 a=20−2(9)=2 c=3(9)−30=−3 a=2,b=9,c=−3

$$\mathrm{p}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{q}\left(\mathrm{0}\right)\Rightarrow\mathrm{9a}+\mathrm{1}=−\mathrm{2c}+\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{9a}+\mathrm{2c}=\mathrm{12}.........\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{q}\left(\mathrm{3}\right)\Rightarrow\mathrm{3b}+\mathrm{1}=\mathrm{18}+\mathrm{c}+\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3b}−\mathrm{c}=\mathrm{30}..........\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{q}\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{2b}+\mathrm{1}=\mathrm{8}+\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{2b}=\mathrm{20}...........\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{3b}−\mathrm{30} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\mathrm{9a}+\mathrm{2}\left(\mathrm{3b}−\mathrm{30}\right)=\mathrm{12}\Rightarrow\mathrm{3a}+\mathrm{2b}=\mathrm{24}.........\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right),\left(\mathrm{iv}\right)\Rightarrow\mathrm{3}\left(\mathrm{20}−\mathrm{2b}\right)+\mathrm{2b}=\mathrm{24}\Rightarrow−\mathrm{4b}=\mathrm{24}−\mathrm{60} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}=\frac{−\mathrm{36}}{−\mathrm{4}}=\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{20}−\mathrm{2}\left(\mathrm{9}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{3}\left(\mathrm{9}\right)−\mathrm{30}=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{2},\mathrm{b}=\mathrm{9},\mathrm{c}=−\mathrm{3} \\ $$

Commented by Tinkutara last updated on 28/Jun/17

Thanks Sir!

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

Answered by RasheedSoomro last updated on 28/Jun/17

AnOther way p(x)=a(x^2 −6x+9)+bx+1 =ax^2 −6ax+9a+bx+1 =ax^2 +(−6a+b)x+9a+1 q(x)=2x^2 +cx−2c+13 Comparing coefficients of x a=2 ∧ −6a+b=c ∧ 9a+1=−2c+13 −6(2)+b=c ∧ 9(2)+1=−2c+13 b−c=12 ∧ c=−3 b−(−3)=12 b=9

$$\mathrm{AnOther}\:\:\mathrm{way} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{9}\right)+\mathrm{bx}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6ax}+\mathrm{9a}+\mathrm{bx}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\left(−\mathrm{6a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}+\mathrm{9a}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}−\mathrm{2c}+\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{Comparing}\:\mathrm{coefficients}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{2}\:\wedge\:−\mathrm{6a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}\:\wedge\:\mathrm{9a}+\mathrm{1}=−\mathrm{2c}+\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{6}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{b}=\mathrm{c}\:\wedge\:\mathrm{9}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}=−\mathrm{2c}+\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}−\mathrm{c}=\mathrm{12}\:\wedge\:\mathrm{c}=−\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}−\left(−\mathrm{3}\right)=\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}=\mathrm{9} \\ $$

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