Question Number 169768 by mnjuly1970 last updated on 08/May/22 | ||
$$\:\:\: \\ $$ $$\:\:\:\left[{x}\right]+\left[{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]+\left[{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]=\:\mathrm{8} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{2}{x}\right]=\mathrm{8}−\left[{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]={k} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{k}}{\mathrm{2}}\leqslant{x}<\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:,\:\:\:\:\:\mathrm{8}−{k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\leqslant{x}\:<\mathrm{9}−{k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{k}}{\mathrm{2}}\:<\:\frac{\mathrm{28}−\mathrm{3}{k}}{\mathrm{3}}\:\:\Rightarrow\:\mathrm{9}{k}\:<\:\mathrm{56} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{k}\:<\frac{\mathrm{56}}{\mathrm{9}}\:\:\:\:\bigstar \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{3}}\:−{k}<\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\mathrm{50}−\mathrm{6}{k}<\mathrm{3}{k}+\mathrm{3} \\ $$ $$\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{47}}{\mathrm{9}}\:<{x}\:\:\bigstar\bigstar \\ $$ $$\:\:\:\bigstar\:\:\&\:\bigstar\bigstar\::\:\:\:\:\:{k}=\mathrm{6} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\leqslant{x}<\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\leqslant{x}<\:\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\:\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\&\:\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\leqslant{x}<\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$ | ||