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Question Number 170221 by mathlove last updated on 18/May/22

lim_(x→0^+ ) (((((√x))^(√x) −x^x )/(((√x))^x −x^(√x) )))=? help me

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\left(\sqrt{{x}}\right)^{\sqrt{{x}}} −{x}^{{x}} }{\left(\sqrt{{x}}\right)^{{x}} −{x}^{\sqrt{{x}}} }\right)=? \\ $$$${help}\:{me} \\ $$

Commented by mathlove last updated on 19/May/22

any one is answer

$${any}\:{one}\:{is}\:{answer}\: \\ $$

Answered by qaz last updated on 19/May/22

lim_(x→0^+ ) ((((√x))^(√x) −x^x )/(((√x))^x −x^(√x) ))=lim_(x→0^+ ) ((e^((√x)ln(√x)) −e^(xlnx) )/(e^(xln(√x)) −e^((√x)lnx) ))=lim_(x→0^+ ) ((e^(xlnx) (e^((√x)ln(√x)−xlnx) −1))/(e^((√x)lnx) (e^(xln(√x)−(√x)lnx) −1))) =lim_(x→0^+ ) ((e^((x−(√x))lnx) ((√x)ln(√x)−xlnx))/(xln(√x)−(√x)lnx))=lim_(x→0^+ ) ((ln(√x)−(√x)lnx)/( (√x)ln(√x)−lnx)) =lim_(x→0^+ ) (((1/2)lnx−(√x)lnx)/((1/2)(√x)lnx−lnx))=lim_(x→0^+ ) (((1/2)−(√x))/((1/2)(√x)−1))=−(1/2)

$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{x}^{\mathrm{x}} }{\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}} −\mathrm{x}^{\sqrt{\mathrm{x}}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{e}^{\mathrm{xlnx}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{xlnx}} \left(\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{xlnx}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\left(\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{lnx}} \left(\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{xlnx}\right)}{\mathrm{xln}\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{lnx}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lnx}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}−\mathrm{lnx}}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by mathlove last updated on 19/May/22

NICE

$$\mathcal{NICE} \\ $$

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