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Question Number 170537 by 2407 last updated on 26/May/22

Commented by cortano1 last updated on 26/May/22

lim_(n→∞) (√n) (√(1+(1/( (√n))))) −(√n) = lim_(n→∞) (√n) ((√(1+(1/( (√n))))) −1)= =(1/2)

$$\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{{n}}\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}}\:−\sqrt{{n}}\:= \\ $$$$\:\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{{n}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}}\:−\mathrm{1}\right)= \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/May/22

lim_(x→∞) ((√(n+(√n))) −(√n) ) =lim_(x→∞) ((((√(n+(√n))) −(√n) )((√(n+(√n))) +(√n) ))/( (√(n+(√n))) +(√n) )) =lim_(x→∞) ((n+(√n) −n )/( (√(n+(√n))) +(√n) )) =lim_(x→∞) (((√n) )/( (√(n+(√n))) +(√n) )) =lim_(x→∞) (((√n) )/( (√n) ((√(1+(1/( (√n)))))+1))) =lim_(x→∞) ((1 )/( (√(1+(1/( (√n)))))+1))=(1/2)

$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\sqrt{{n}+\sqrt{{n}}}\:−\sqrt{{n}}\:\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\sqrt{{n}+\sqrt{{n}}}\:−\sqrt{{n}}\:\right)\left(\sqrt{{n}+\sqrt{{n}}}\:+\sqrt{{n}}\:\right)}{\:\sqrt{{n}+\sqrt{{n}}}\:+\sqrt{{n}}\:} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}+\sqrt{{n}}\:−{n}\:}{\:\sqrt{{n}+\sqrt{{n}}}\:+\sqrt{{n}}\:} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{{n}}\:\:}{\:\sqrt{{n}+\sqrt{{n}}}\:+\sqrt{{n}}\:} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{{n}}\:\:}{\:\sqrt{{n}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}\:}{\:\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

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