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Question Number 171402 by mnjuly1970 last updated on 14/Jun/22

solve... ⌊x^( 2) ⌋+⌊x⌋^( 2) = x^( 2) +x +1 x=?

$$\:\:{solve}... \\ $$$$\:\:\:\lfloor{x}^{\:\mathrm{2}} \rfloor+\lfloor{x}\rfloor^{\:\mathrm{2}} =\:{x}^{\:\mathrm{2}} +{x}\:+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{x}=? \\ $$

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 14/Jun/22

⌊x^2 ⌋=a∈Z⇒x^2 =a+α, 0≤α<1 ⌊x⌋=b∈Z⇒x=b+β, 0≤β<1 a+b^2 =a+α+b+β+1 ⇒b^2 −b=α+β+1⇒1≤b^2 −b<3 ⇒b^2 −b∈{1,2}⇒b^2 −b=2⇒b=2 or b=−1 1 case: b=2 ⌊x⌋=2, x=2+α⇒x^2 =4+4α+α^2 ⇒4≤x^2 <9 x^2 ∈[4,5)∴⌊x^2 ⌋=4 4+2^2 =x^2 +x+1⇒x^2 +x−7=0 ⇒x=((−1+(√(29)))/2) x^2 ∈[5,6)∴⌊x^2 ⌋=5 5+2^2 =x^2 +x+1⇒x^2 +x−8=0 ⇒x=((−1+(√(33)))/2) x^2 ∈[6,7)∴⌊x^2 ⌋=6 6+2^2 =x^2 +x+1⇒x^2 +x−9=0 x=((−1+(√(37)))/2) x^2 ∈[7,8)∴⌊x^2 ⌋=7 7+2^2 =x^2 +x+1⇒x^2 +x−10=0 ⇒x=((−1+(√(41)))/2) x^2 ∈[7,8)∴⌊x^2 ⌋=8 ⇒x=((−1+(√(45)))/2) 2 case: b=−1 ⌊x⌋=−1, x=−1+α⇒x^2 =1−2α+α^2 ⇒0<x^2 ≤1 x^2 ∈(0,1)∴⌊x^2 ⌋=0 0+(−1)^2 =x^2 +x+1⇒x^2 +x=0 ⇒x=−1⇒x^2 ∉(0,1) (dont work) x^2 =1∴⌊x^2 ⌋=1 1+(−1)^2 =x^2 +x+1⇒x^2 +x−1=0 x=((−1−(√5))/2)≤−1(dont work) solutions: x=((−1+(√(25+4n)))/2), 1≤n≤5, n∈N

$$\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{a}\in\mathbb{Z}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}+\alpha,\:\mathrm{0}\leqslant\alpha<\mathrm{1} \\ $$$$\lfloor\mathrm{x}\rfloor=\mathrm{b}\in\mathbb{Z}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{b}+\beta,\:\mathrm{0}\leqslant\beta<\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}+\alpha+\mathrm{b}+\beta+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}=\alpha+\beta+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}<\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2}\right\}\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{b}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}\:\mathrm{case}:\:\mathrm{b}=\mathrm{2} \\ $$$$\lfloor\mathrm{x}\rfloor=\mathrm{2},\:\mathrm{x}=\mathrm{2}+\alpha\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}+\mathrm{4}\alpha+\alpha^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{4}\leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \in\left[\mathrm{4},\mathrm{5}\right)\therefore\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{4}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \in\left[\mathrm{5},\mathrm{6}\right)\therefore\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{5}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{8}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{33}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \in\left[\mathrm{6},\mathrm{7}\right)\therefore\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{6}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{9}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{37}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \in\left[\mathrm{7},\mathrm{8}\right)\therefore\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{7}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{41}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \in\left[\mathrm{7},\mathrm{8}\right)\therefore\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{45}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{case}:\:\mathrm{b}=−\mathrm{1} \\ $$$$\lfloor\mathrm{x}\rfloor=−\mathrm{1},\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}+\alpha\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\mathrm{2}\alpha+\alpha^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{0}<\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \in\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)\therefore\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{0}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \notin\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)\:\left(\mathrm{dont}\:\mathrm{work}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\therefore\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\leqslant−\mathrm{1}\left(\mathrm{dont}\:\mathrm{work}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{solutions}: \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{4n}}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{n}\leqslant\mathrm{5},\:\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$ \\ $$

Answered by mr W last updated on 14/Jun/22

x=n+f ⌊x⌋^2 =n^2 ⌊x^2 ⌋=n^2 +⌊(2n+1)f⌋ x^2 +x+1=n^2 +n+1+(2n+1)f+f^2 2n^2 +⌊(2n+1)f⌋=n^2 +n+1+(2n+1)f+f^2 n^2 −n−1=(2n+1)f+f^2 −⌊(2n+1)f⌋ n^2 −n−1={(2n+1)f}+f^2 ≥0 ⇒n≤−1 or n≥2 n^2 −n−1={(2n+1)f}+f^2 <2 ⇒−1≤n≤2 ⇒n=−1 or n=2 with n=−1, i.e. −1≤x<0: 1+1=x^2 +x+1 x^2 +x−1=0 ⇒x=((−1−(√5))/2) <−1 rejected. with n=2, i.e. 2≤x<3: ⌊x^2 ⌋=k with 4≤k≤8 k+4=x^2 +x+1 x^2 +x−(k+3)=0 ⇒x=((−1+(√(13+4k)))/2) ✓ i.e. x=((−1+(√(29)))/2), ((−1+(√(33)))/2), ((−1+(√(37)))/2), ((−1+(√(41)))/2), ((−1+(√(45)))/2)

$${x}={n}+{f} \\ $$$$\lfloor{x}\rfloor^{\mathrm{2}} ={n}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor={n}^{\mathrm{2}} +\lfloor\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}\rfloor \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}={n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}+{f}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\lfloor\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}\rfloor={n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}+{f}^{\mathrm{2}} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{1}=\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}+{f}^{\mathrm{2}} −\lfloor\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}\rfloor \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{1}=\left\{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}\right\}+{f}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{n}\leqslant−\mathrm{1}\:{or}\:{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{1}=\left\{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){f}\right\}+{f}^{\mathrm{2}} <\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{1}\leqslant{n}\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{n}=−\mathrm{1}\:{or}\:{n}=\mathrm{2} \\ $$$${with}\:{n}=−\mathrm{1},\:{i}.{e}.\:−\mathrm{1}\leqslant{x}<\mathrm{0}: \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{1}={x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:<−\mathrm{1}\:{rejected}. \\ $$$${with}\:{n}=\mathrm{2},\:{i}.{e}.\:\mathrm{2}\leqslant{x}<\mathrm{3}: \\ $$$$\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor={k}\:{with}\:\mathrm{4}\leqslant{k}\leqslant\mathrm{8} \\ $$$${k}+\mathrm{4}={x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}−\left({k}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{13}+\mathrm{4}{k}}}{\mathrm{2}}\:\checkmark \\ $$$${i}.{e}.\:{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}},\:\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{33}}}{\mathrm{2}},\:\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{37}}}{\mathrm{2}},\:\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{41}}}{\mathrm{2}},\:\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{45}}}{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by floor(10²Eta[1]) last updated on 14/Jun/22

if x=−1⇒x^2 =1 ⌊x^2 ⌋+⌊x⌋^2 =2≠x^2 +x+1=1

$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\lfloor\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \rfloor+\lfloor\mathrm{x}\rfloor^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\neq\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$

Commented by mr W last updated on 14/Jun/22

i have rejected x=−1.

$${i}\:{have}\:{rejected}\:{x}=−\mathrm{1}. \\ $$

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