Question Number 172910 by DAVONG last updated on 03/Jul/22
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}−\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=? \\ $$
Answered by FongXD last updated on 03/Jul/22
![L=lim_(x→1) ((e−e^((1/(x−1))lnx) )/(x−1))=−lim_(x→1) ((e(e^(((lnx)/(x−1))−1) −1))/(((lnx)/(x−1))−1))×((((lnx)/(x−1))−1)/(x−1)) L=−elim_(x→1) ((lnx−x+1)/((x−1)^2 )) put x=e^t , if x→1, ⇒ t→0 then L=−elim_(t→0) ((t−e^t +1)/((e^t −1)^2 ))=elim_(t→0) ((e^t −t−1)/t^2 )×((t/(e^t −1)))^2 L=elim_(t→0) ((e^t −t−1)/t^2 )=(e/4)lim_(u→0) ((e^(2u) −2u−1)/u^2 ), [t=2u] L−(e/4)=(e/4)lim_(u→0) ((e^(2u) −u^2 −2u−1)/u^2 )=(e/4)lim_(u→0) ((e^(2u) −(u+1)^2 )/u^2 ) L−(e/4)=(e/4)lim_(u→0) ((e^u −u−1)/u^2 )(e^u +u+1) L−(e/4)=(1/4)L×2=(1/2)L L=(e/2)](Q172924.png)
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{lnx}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=−\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}}×\frac{\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{L}=−\mathrm{e}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{lnx}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{put}\:\mathrm{x}=\mathrm{e}^{\mathrm{t}} ,\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1},\:\Rightarrow\:\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{L}=−\mathrm{e}\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{t}−\mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{e}\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }×\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{L}=\mathrm{e}\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2u}} −\mathrm{2u}−\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} },\:\left[\mathrm{t}=\mathrm{2u}\right] \\ $$$$\mathrm{L}−\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2u}} −\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2u}−\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2u}} −\left(\mathrm{u}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{L}−\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} −\mathrm{u}−\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{e}^{\mathrm{u}} +\mathrm{u}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{L}−\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{L}×\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{L} \\ $$$$\mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{2}} \\ $$