Question Number 173815 by mr W last updated on 18/Jul/22 | ||
$${prove}\: \\ $$ $$\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} <{n}! \\ $$ | ||
Commented bymr W last updated on 19/Jul/22 | ||
$${good}\:{idea}\:{sir}!\:{thanks}! \\ $$ $${n}!\approx\sqrt{\mathrm{2}\pi{n}}\left(\frac{{n}}{{e}}\right)^{{n}} \\ $$ $$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}+\mathrm{1}}{\:\sqrt[{{n}}]{{n}!}} \\ $$ $$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}{n}\pi\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}} \left(\frac{{n}}{{e}}\right)} \\ $$ $$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{e}}{\left(\frac{\pi}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$ $$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{e}}{\left(\frac{\pi}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}} } \\ $$ $$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}}{\left(\frac{\pi}{{x}}\right)^{{x}} } \\ $$ $$=\frac{{e}}{\mathrm{1}} \\ $$ $$={e}\:<\:\mathrm{3} \\ $$ | ||
Commented byFrix last updated on 18/Jul/22 | ||
$$\Leftrightarrow \\ $$ $$\mathrm{3}>\frac{{n}+\mathrm{1}}{\:\sqrt[{{n}}]{{n}!}} \\ $$ $$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{n}+\mathrm{1}}{\:\sqrt[{{n}}]{{n}!}}\:=\mathrm{e}<\mathrm{3} \\ $$ $$\mathrm{just}\:\mathrm{a}\:\mathrm{idea}... \\ $$ | ||