Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Algebra Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Algebra      Next in Algebra      

Question Number 173869 by mnjuly1970 last updated on 20/Jul/22

If, ( (((√(10)) +(√6)+2)/( (√5) −(√(3 )) + (√2))) )^( 2) = a + (√b) then. a , b = ?

$$ \\ $$$$\:{If},\:\:\:\left(\:\frac{\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\right)^{\:\mathrm{2}} =\:{a}\:+\:\sqrt{{b}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{then}.\:\:\:\:\:\:\:\:{a}\:\:,\:\:\:{b}\:=\:? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

Commented by infinityaction last updated on 20/Jul/22

(((√2)((√5)+(√3)+(√2)))/( (√5)−(√3)+(√2))) = A (((√2)((√5)+(√3))(1+((√2)/( (√5)+(√3)))))/( (√5)−(√3)+(√2))) = A (((√5)+(√3)((√2)+((2((√5)−(√3)))/( ((√5)+(√3))((√5)−(√3))))))/( (√5)−(√3)+(√2))) = A (((√5)+(√3)((√2)+((2((√5)−(√3)))/2)))/( (√5)+(√2)−(√3))) = A (√5)+(√3) = A A^2 = ((√5)+(√3))^2 = a+(√b) a+(√b) = 8+(√(60)) a = 8 , b =60

$$\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\:{A} \\ $$$$\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\:\:{A} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\:\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\:\:{A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\cancel{\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{2}}\right)}}{\:\cancel{\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{3}}}}\:\:=\:{A} \\ $$$$\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\:=\:{A} \\ $$$$\:\:\:\:{A}^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:{a}+\sqrt{{b}} \\ $$$$\:\:\:\:{a}+\sqrt{{b}}\:=\:\mathrm{8}+\sqrt{\mathrm{60}} \\ $$$$\:\:{a}\:=\:\mathrm{8}\:,\:{b}\:=\mathrm{60} \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 20/Jul/22

thx alot sir

$${thx}\:{alot}\:{sir} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 20/Jul/22

If ( (((√(10)) +(√6)+2)/( (√5) −(√(3 )) + (√2))) )^( 2) = a + (√b) ( (((√(10)) +(√6)+2)/( (√5) −(√(3 )) + (√2))) )^( 2) =((10+6+4+4(√(15)) +4(√6) +4(√(10)))/(5+3+2−2(√(15)) −2(√6) +2(√(10)))) =((20+4(√(15)) +4(√6) +4(√(10)))/(10−2(√(15)) −2(√6) +2(√(10)))) =((10+2(√(15)) +2(√6) +2(√(10)))/(5−(√(15)) −(√6) +(√(10))))=(p/q) (say) ((10+2(√(15)) +2(√6) +2(√(10)))/(10−2(√(15)) −2(√6) +2(√(10))))=(p/(2q)) (((10+2(√(15)) +2(√6) +2(√(10)))+(10−2(√(15)) −2(√6) +2(√(10))))/((10+2(√(15)) +2(√6) +2(√(10)))−(10−2(√(15)) −2(√6) +2(√(10)))))=((p+2q)/(p−2q)) ((20+4(√(10)))/(4(√(15)) +4(√6)))=((p+2q)/(p−2q)) ((5+(√(10)))/( (√(15)) +(√6)))∙(((√(15)) −(√6))/( (√(15)) −(√6)))=((p+2q)/(p−2q)) ((5(√(15)) −5(√6) +5(√6) −2(√(15)) )/(15−6))=((p+2q)/(p−2q)) ((3(√(15)) )/9)=((p+2q)/(p−2q)) (((√(15)) )/3)=((p+2q)/(p−2q)) (((√(15)) +3 )/( (√(15)) −3))=(((p+2q)+(p−2q)/((p+2q)−(p−2q))) (((√(15)) +3 )/( (√(15)) −3))=((2p)/(4q))=(p/(2q)) (((√(15)) +3 )/( (√(15)) −3))∙(( (√(15)) +3)/( (√(15)) +3))=(p/(2q)) ((((√(15)) +3)^2 )/( 15 −9))=(p/(2q)) ((15+9+6(√(15)))/6)=(p/(2q)) ((24+6(√(15)))/3)=(p/q) =8+2(√(15)) =8+(√(60)) a=8 , b=60

$$\:{If}\:\left(\:\frac{\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\right)^{\:\mathrm{2}} =\:{a}\:+\:\sqrt{{b}} \\ $$$$\left(\:\frac{\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\right)^{\:\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{10}+\mathrm{6}+\mathrm{4}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{10}}}{\mathrm{5}+\mathrm{3}+\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{20}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{10}}}{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}}{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{15}}\:−\sqrt{\mathrm{6}}\:+\sqrt{\mathrm{10}}}=\frac{{p}}{{q}}\:\left({say}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}}{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}}=\frac{{p}}{\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\right)+\left(\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\right)}{\left(\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\right)−\left(\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\right)}=\frac{{p}+\mathrm{2}{q}}{{p}−\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\mathrm{20}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{10}}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}}=\frac{{p}+\mathrm{2}{q}}{{p}−\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{10}}}{\:\sqrt{\mathrm{15}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}}\centerdot\frac{\sqrt{\mathrm{15}}\:−\sqrt{\mathrm{6}}}{\:\sqrt{\mathrm{15}}\:−\sqrt{\mathrm{6}}}=\frac{{p}+\mathrm{2}{q}}{{p}−\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{6}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:}{\mathrm{15}−\mathrm{6}}=\frac{{p}+\mathrm{2}{q}}{{p}−\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{15}}\:\:}{\mathrm{9}}=\frac{{p}+\mathrm{2}{q}}{{p}−\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{15}}\:\:}{\mathrm{3}}=\frac{{p}+\mathrm{2}{q}}{{p}−\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{3}\:}{\:\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{3}}=\frac{\left({p}+\mathrm{2}{q}\right)+\left({p}−\mathrm{2}{q}\right.}{\left({p}+\mathrm{2}{q}\right)−\left({p}−\mathrm{2}{q}\right)} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{3}\:}{\:\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}{p}}{\mathrm{4}{q}}=\frac{{p}}{\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{3}\:}{\:\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{3}}\centerdot\frac{\:\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{3}}=\frac{{p}}{\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\left(\sqrt{\mathrm{15}}\:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \:}{\:\mathrm{15}\:−\mathrm{9}}=\frac{{p}}{\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\mathrm{15}+\mathrm{9}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{15}}}{\mathrm{6}}=\frac{{p}}{\mathrm{2}{q}} \\ $$$$\frac{\mathrm{24}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{15}}}{\mathrm{3}}=\frac{{p}}{{q}} \\ $$$$=\mathrm{8}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:=\mathrm{8}+\sqrt{\mathrm{60}}\: \\ $$$${a}=\mathrm{8}\:,\:{b}=\mathrm{60}\: \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 20/Jul/22

If ( (((√(10)) +(√6)+2)/( (√5) −(√(3 )) + (√2))) )^( 2) = a + (√b) then. a , b = ? (((√(10)) +(√6)+2)/( (√5) −(√(3 )) + (√2)))=(((√2) ((√5) +(√3)+(√2) ))/( (√5) −(√(3 )) + (√2))) =^ (((√2) ((√5) +(√2)+(√3) ))/( (√5) +(√2)−(√(3 )) ))∙((((√5) +(√2)+(√3) ))/(((√5) +(√2)+(√3) ))) =(((√2) ((√5) +(√2)+(√3) )^2 )/(((√5) +(√2) )^2 −((√3))^2 )) =(((√2) (5+2+3+2(√(10)) +2(√6) +2(√(15)) ))/(5+2+2(√(10)) −3)) =(((√2) (10+2(√(10)) +2(√6) +2(√(15)) ))/(4+2(√(10)) )) =(((√2) (5+(√(10)) +(√6) +(√(15)) ))/(2+(√(10)) ))∙((2−(√(10)))/(2−(√(10)))) =(((√2) (10+2(√(10)) +2(√6) +2(√(15)) −5(√(10)) −10−(√(60)) −(√(150)) ))/(4−10)) =(((√2) (10 −3(√(10)) −10−3(√6) ))/(−6)) =(((√2) ((√(10)) +(√6) ))/2)=(( (√(10)) +(√6) )/( (√2) ))=(√5) +(√3) ▶( (((√(10)) +(√6)+2)/( (√5) −(√(3 )) + (√2))) )^( 2) =((√5) +(√3))^2 =5+3+2(√(15)) =8+2(√(15)) =8+(√(60)) a=8 ,b=60

$$\:{If}\:\left(\:\frac{\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\right)^{\:\mathrm{2}} =\:{a}\:+\:\sqrt{{b}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{then}.\:\:\:\:\:\:\:\:{a}\:\:,\:\:\:{b}\:=\:? \\ $$$$\:\frac{\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}\: \\ $$$$=^{\:} \frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:}\centerdot\frac{\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} −\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{5}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:\right)}{\mathrm{5}+\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\:−\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:\right)}{\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\:} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}\:+\sqrt{\mathrm{15}}\:\right)}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{10}}\:}\centerdot\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{10}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{10}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{10}}\:−\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{60}}\:−\sqrt{\mathrm{150}}\:\right)}{\mathrm{4}−\mathrm{10}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\cancel{\mathrm{10}}\:−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{10}}\:−\cancel{\mathrm{10}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{6}}\:\right)}{−\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}\:\right)}{\mathrm{2}}=\frac{\:\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}=\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\blacktriangleright\left(\:\frac{\sqrt{\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\right)^{\:\mathrm{2}} =\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{5}+\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:=\mathrm{8}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{15}}\:=\mathrm{8}+\sqrt{\mathrm{60}}\: \\ $$$${a}=\mathrm{8}\:,{b}=\mathrm{60} \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 20/Jul/22

very nice sir thank you so much

$${very}\:{nice}\:{sir} \\ $$$${thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com