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Question Number 173978 by dragan91 last updated on 22/Jul/22

Solve system of equations: x+((3x−y)/(x^2 +y^2 ))=3 y−((x+3y)/(x^2 +y^2 ))=0

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equations}: \\ $$$$\mathrm{x}+\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{y}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{y}−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{3y}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$

Answered by Frix last updated on 22/Jul/22

y=ax (i) x+((3x−ax)/(x^2 +a^2 x^2 ))=3 ⇔ x+((3−a)/((a^2 +1)x))=3 (j) ax−((3+3ax)/(x^2 +a^2 x^2 ))=0 ⇔ ax−((3a+1)/((a^2 +1)x))=0 (i) x^2 −3x−((a−3)/(a^2 +1))=0 (j) x^2 −((3a+1)/(a(a^2 +1)))=0 (j−i) ⇒ x=−((a^2 −6a−1)/(3a(a^2 +1))) inserting in (i) or (j) and transforming we get a^4 +((21a^3 )/(26))−((7a^2 )/(26))−((3a)/(26))−(1/(26))=0 (a+1)(a−(1/2))(a^2 +((4a)/(13))+(1/(13)))=0 a=−1∨a=(1/2)∨a=−((2±3i)/(13)) we get x=1∧y=−1∨x=2∧y=1∨x=(3/2)±i∧y=∓(i/2)∨

$${y}={ax} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\:{x}+\frac{\mathrm{3}{x}−{ax}}{{x}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3}\:\Leftrightarrow\:{x}+\frac{\mathrm{3}−{a}}{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){x}}=\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{j}\right)\:\:{ax}−\frac{\mathrm{3}+\mathrm{3}{ax}}{{x}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{ax}−\frac{\mathrm{3}{a}+\mathrm{1}}{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){x}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\frac{{a}−\mathrm{3}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{j}\right)\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}{a}+\mathrm{1}}{{a}\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{j}−\mathrm{i}\right)\:\:\Rightarrow\:{x}=−\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}{a}\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{inserting}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{or}\:\left(\mathrm{j}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{transforming}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{21}{a}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{26}}−\frac{\mathrm{7}{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{26}}−\frac{\mathrm{3}{a}}{\mathrm{26}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{26}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({a}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}{a}}{\mathrm{13}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}=−\mathrm{1}\vee{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\vee{a}=−\frac{\mathrm{2}\pm\mathrm{3i}}{\mathrm{13}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$${x}=\mathrm{1}\wedge{y}=−\mathrm{1}\vee{x}=\mathrm{2}\wedge{y}=\mathrm{1}\vee{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\mathrm{i}\wedge{y}=\mp\frac{{i}}{\mathrm{2}}\vee \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 22/Jul/22

Great sir

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$

Commented by dragan91 last updated on 22/Jul/22

y=ax (i) x+((3x−ax)/(x^2 +a^2 x^2 ))=3 ⇔ x+((3−a)/((a^2 +1)x))=3 (j) ax−((x+3ax)/(x^2 +a^2 x^2 ))=0 ⇔ ax−((3a+1)/((a^2 +1)x))=0 (i) x^2 −3x−((a−3)/(a^2 +1))=0 (j) x^2 −((3a+1)/(a(a^2 +1)))=0 (j−i) ⇒ x=−((a^2 −6a−1)/(3a(a^2 +1))) inserting in (i) or (j) and transforming we get a^4 +((21a^3 )/(26))−((7a^2 )/(26))−((3a)/(26))−(1/(26))=0 (a+1)(a−(1/2))(a^2 +((4a)/(13))+(1/(13)))=0 a=−1∨a=(1/2)∨a=−((2±3i)/(13)) we get x=1∧y=−1∨x=2∧y=1∨x=(3/2)±i∧y=∓(i/2)∨

$${y}={ax} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\:{x}+\frac{\mathrm{3}{x}−{ax}}{{x}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3}\:\Leftrightarrow\:{x}+\frac{\mathrm{3}−{a}}{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){x}}=\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{j}\right)\:\:{ax}−\frac{{x}+\mathrm{3}{ax}}{{x}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{ax}−\frac{\mathrm{3}{a}+\mathrm{1}}{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){x}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\frac{{a}−\mathrm{3}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{j}\right)\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}{a}+\mathrm{1}}{{a}\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{j}−\mathrm{i}\right)\:\:\Rightarrow\:{x}=−\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}{a}\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{inserting}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{or}\:\left(\mathrm{j}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{transforming}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{21}{a}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{26}}−\frac{\mathrm{7}{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{26}}−\frac{\mathrm{3}{a}}{\mathrm{26}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{26}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({a}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}{a}}{\mathrm{13}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}=−\mathrm{1}\vee{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\vee{a}=−\frac{\mathrm{2}\pm\mathrm{3i}}{\mathrm{13}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$${x}=\mathrm{1}\wedge{y}=−\mathrm{1}\vee{x}=\mathrm{2}\wedge{y}=\mathrm{1}\vee{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\mathrm{i}\wedge{y}=\mp\frac{{i}}{\mathrm{2}}\vee \\ $$

Commented by dragan91 last updated on 22/Jul/22

By the way nice solution

$$\mathrm{By}\:\mathrm{the}\:\mathrm{way}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{solution} \\ $$

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