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Question Number 17497 by tawa tawa last updated on 06/Jul/17

Evaluate: sin(9)°

$$\mathrm{Evaluate}:\:\:\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{9}\right)° \\ $$

Answered by mrW1 last updated on 06/Jul/17

18°+2×18°=90°−2×18° cos (18°+2×18°)=cos (90°−2×18°)=sin (2×18°) cos 18 cos (2×18)−sin 18 sin (2×18)=sin (2×18) cos 18 cos (2×18)−(sin 18 +1) sin (2×18)=0 cos 18 (2 cos^2 18−1)−2 (sin 18 +1) sin 18 cos 18=0 2 cos^2 18−1−2 sin^2 18 −2 sin 18 =0 1−4 sin^2 18 −2 sin 18 =0 4 sin^2 18 +2 sin 18−1 =0 ⇒sin 18=((−2+(√(20)))/8)=(((√5)−1)/4) ⇒cos 18=(√(1−((((√5)−1)/4))^2 ))=(√((1+(((√5)−1)/4))(1−(((√5)−1)/4))))=(1/4)(√((3+(√5))(5−(√5))))=(1/4)(√(10+2(√5))) ⇒1−2sin^2 9=(1/4)(√(10+2(√5))) ⇒sin 9=(√((1/2)−(1/8)(√(10+2(√5))))) ⇒sin 9°=(1/4)(√(8−2(√(10+2(√5)))))

$$\mathrm{18}°+\mathrm{2}×\mathrm{18}°=\mathrm{90}°−\mathrm{2}×\mathrm{18}° \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{18}°+\mathrm{2}×\mathrm{18}°\right)=\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{90}°−\mathrm{2}×\mathrm{18}°\right)=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{18}°\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{18}\right)−\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{18}\right)=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{18}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{18}\right)−\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{18}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\:\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{18}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{18}−\mathrm{1}−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{18}\:−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{18}\:−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{18}\:+\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}−\mathrm{1}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\mathrm{18}=\frac{−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{20}}}{\mathrm{8}}=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:\mathrm{18}=\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\left(\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)\left(\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{9}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\mathrm{9}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\mathrm{9}°=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{8}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}} \\ $$

Commented by tawa tawa last updated on 06/Jul/17

Wow, God bless you sir.

$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$

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