Question Number 17524 by 786 last updated on 07/Jul/17
$$\mathrm{The}\:\mathrm{circle}\:\omega\:\mathrm{touches}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\Omega \\ $$ $$\mathrm{internally}\:\mathrm{at}\:{P}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{centre}\:{O}\:\mathrm{of}\:\Omega\:\mathrm{is} \\ $$ $$\mathrm{outside}\:\omega.\:\mathrm{Let}\:{XY}\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{diameter}\:\mathrm{of}\:\Omega \\ $$ $$\mathrm{which}\:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{to}\:\omega.\:\mathrm{Assume} \\ $$ $${PY}\:>\:{PX}.\:\mathrm{Let}\:{PY}\:\mathrm{intersect}\:\omega\:\mathrm{at}\:{Z}.\:\mathrm{If} \\ $$ $${YZ}\:=\:\mathrm{2}{PZ},\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{magnitude}\:\mathrm{of} \\ $$ $$\angle{PYX}\:\mathrm{in}\:\mathrm{degrees}? \\ $$
Answered by ajfour last updated on 07/Jul/17
$$\angle\mathrm{PYX}=\mathrm{15}°\:. \\ $$
Commented byajfour last updated on 07/Jul/17
Commented byajfour last updated on 08/Jul/17
$$\mathrm{YZ}=\mathrm{2PZ}\:\:\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{3PZ}=\mathrm{PY} \\ $$ $$\mathrm{3}\left(\mathrm{2rcos}\:\theta\right)=\mathrm{2Rcos}\:\theta \\ $$ $$\Rightarrow\:\:\:\:\mathrm{R}=\mathrm{3r} \\ $$ $$\:\:\mathrm{In}\:\bigtriangleup\mathrm{OCN},\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}−\mathrm{r}}\:=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{3r}−\mathrm{r}} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\mathrm{or}\:\:\:\:\theta=\mathrm{15}°\:. \\ $$
Commented byTinkutara last updated on 07/Jul/17
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}! \\ $$