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Question Number 176580 by mathlove last updated on 22/Sep/22

4^(x^2 −2x+2) −2^(x^2 −2x+3) +2=2^(x^2 −2x+2) x=?

$$\mathrm{4}^{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}} +\mathrm{2}=\mathrm{2}^{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}} \\ $$$${x}=? \\ $$

Answered by cortano1 last updated on 22/Sep/22

(2^(x^2 −2x+2) )^2 −2.2^(x^2 −2x+2) = 2^(x^2 −2x+2) y^2 −3y=0 y(y−3)=0 y=0 (rejected) y=3⇒2^(x^2 −2x+2) = 3 ⇒x^2 −2x+2= log _2 (3) ⇒(x−1)^2 = log _2 (3)−1 ⇒x=1 ± (√(log _2 ((3/2))))

$$\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}.\mathrm{2}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{y}\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{rejected}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}=\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$

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