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Question Number 17704 by Tinkutara last updated on 09/Jul/17

$$\mathrm{A}\mathrm{monkey}\mathrm{climbs}\mathrm{up}\mathrm{a}\mathrm{slippery}\mathrm{pole}\mathrm{for}$$ $$3\mathrm{seconds}\mathrm{and}\mathrm{subsequently}\mathrm{slips}\mathrm{for}3$$ $$\mathrm{seconds}.\mathrm{Its}\mathrm{velocity}\mathrm{at}\mathrm{time}t\mathrm{is}\mathrm{given}$$ $$\mathrm{by}v\left(t\right)=2t(3-t);0<t<3\mathrm{and}$$ $$v\left(t\right)=-(t-3)(6-t)\mathrm{for}3<t<6\mathrm{s}$$ $$\mathrm{in}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\mathrm{It}\mathrm{repeats}\mathrm{this}\mathrm{cycle}\mathrm{till}\mathrm{it}$$ $$\mathrm{reaches}\mathrm{the}\mathrm{height}\mathrm{of}20\mathrm{m}.\mathrm{At}\mathrm{what}$$ $$\mathrm{time}\mathrm{is}\mathrm{its}\mathrm{average}\mathrm{velocity}\mathrm{maximum}?$$

Commented byajfour last updated on 09/Jul/17

$$\mathrm{at}\mathbf{t}=\frac{9}{4}\mathrm{s}.$$

Answered by ajfour last updated on 09/Jul/17

Commented byajfour last updated on 09/Jul/17

$${\mathrm{v}}_{\mathrm{avg}}=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}$$ $$\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{climb}\mathrm{between}\mathrm{t}=0\mathrm{and}$$ $$\mathrm{t}=3\mathrm{s}$$ $$\mathrm{v}=2\mathrm{t}(3-\mathrm{t})=6\mathrm{t}-{2\mathrm{t}}^2$$ $$\mathrm{s}={3\mathrm{t}}^2-\frac{{2\mathrm{t}}^3}{3}\Rightarrow \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}=3\mathrm{t}-\frac{{2\mathrm{t}}^2}{3}$$ $${\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{avg}}\right)}_{\max }=\max .\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{tangent}$$ $$\left(\mathrm{from}\mathrm{origin}\right)\mathrm{to}\mathrm{s}-\mathrm{t}\mathrm{graph}.$$ $$\Rightarrow \mathrm{at}\mathrm{such}\mathrm{point}\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}$$ $$6\mathrm{t}-{2\mathrm{t}}^2=3\mathrm{t}-\frac{{2\mathrm{t}}^2}{3}$$ $$\mathrm{or}\frac{{4\mathrm{t}}^2}{3}=3\mathrm{t}$$ $$\Rightarrow \mathrm{t}=0,\frac{9}{4}\mathrm{s}.$$ $$\mathrm{as}\mathrm{at}\mathrm{t}=0,{\mathrm{v}}_{\mathrm{avg}}=0$$ $$\mathrm{but}\mathrm{at}\mathrm{t}=9/4,{\mathrm{v}}_{\mathrm{avg}}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{maximum}.$$

Commented byTinkutara last updated on 09/Jul/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{Sir}!$$

Answered by alex041103 last updated on 09/Jul/17

$$\mathrm{First}{v}_{av}\left(t\right)\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{average}\mathrm{velocity}\mathrm{from}$$ $$0\mathrm{to}\mathrm{t}\mathrm{and}$$ $$v_{av}\left(t\right)=\frac{1}{t}\underset{0}{\stackrel{\mathrm{t}}{\int }}v\left(t\right)dt$$ $$then$$ $$\frac{d}{dt}{v}_{av}\left(t\right)=\frac{1}{t}v\left(t\right)-\frac{1}{t^2}\underset{0}{\stackrel{\mathrm{t}}{\int }}v\left(t\right)dt$$ $$\mathrm{For}v\left(t\right)=2t(3-t)$$ $$\frac{d}{dt}{v}_{av}\left(t\right)=3-\frac{4}{3}t$$ $$\mathrm{We}\mathrm{search}\mathrm{for}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{av}}\left(\mathrm{t}\right)=0$$ $$\Rightarrow \mathrm{t}=9/4\in (6\mathrm{k},6\mathrm{k}+3)\mathrm{for}\mathrm{\exists }(\mathrm{k}+1)\in \mathbb{N}\to \mathrm{ok}$$ $$\mathrm{For}v\left(t\right)=(\mathrm{t}-3)(\mathrm{t}-6)$$ $$\frac{d}{dt}{v}_{av}\left(t\right)=\frac{2}{3}\mathrm{t}-\frac{9}{2}$$ $$\mathrm{We}\mathrm{search}\mathrm{for}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{av}}\left(\mathrm{t}\right)=0$$ $$\Rightarrow \mathrm{t}=6.75\notin (6\mathrm{k}+3,6\mathrm{k}+6)\mathrm{for}\mathrm{\exists }(\mathrm{k}+1)\in \mathbb{N}\to \mathrm{not}\mathrm{ok}$$ $$$$ $$\mathrm{The}\mathrm{extremum}\mathrm{is}\mathrm{t}=9/4<3$$ $$\mathrm{For}\mathrm{t}=3\to \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{av}}\left(3\right)<0$$ $$\Rightarrow \max \left({\mathrm{v}}_{\mathrm{av}}\right)={\mathrm{v}}_{\mathrm{av}}\left(9/4\right)$$

Commented byTinkutara last updated on 09/Jul/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{Sir}!$$

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