Question Number 177042 by Ar Brandon last updated on 30/Sep/22
Answered by a.lgnaoui last updated on 30/Sep/22
![somme dds racinesx_1 +x_2 =−a^2 x_1 x_2 =((a+3)/(4a^2 −19a−5)) Δ=a^4 −4(4a^2 −19a−5)(a+3)>0 a^4 −4(4a^3 +12a^2 −19a^2 −54a−5a−15) a^4 −4(4a^3 −7a^2 −59a−15) Δ=(a+2,714)(a+0,263)(a−6,991)(a−11,986) a^4 −16a^3 +28a^2 +236a+60) x_1 =(−a^2 ±(√(a^4 −16a^3 +28a^2 +236a+60)) ) /2 = x_1 =((−a^2 −(√(a^4 −16a^3 +28a^2 +236a+60)))/2) a=0 a∈{−(1/4),5} x_1 =−((√(60))/2)<0 x_2 >0 ∣x ∣−x_2 =(√(60)) >0 a∈]−(1/4) ,5[ satisfait •a=−1 pas de solutions reels donc a∉]−3,−(1/4)[ •a= •a=−4 a=−4∈{−∞,−3} x1=−8−((√(784)) )/2<0 ∣ x_2 =−8+((√(784))) /2>0 ∣x1∣−x2 >0 • donc a∈] −∞,−3[ satisfait aux conditions a=−3 x1=−(9/2)−(√(81+656+84−678+60 )) )/2=((−9)/2)−(√(113))<0(λ>0) x_2 =−(9/2)+(√(113))>0 ∣x1∣−x2=9>0 • donc a=−3 satisfait a=−2 x_1 =−2−(√(16+128+112−472+60)) pas de solutiins reels dinc a∉]−3,−(1/4)[ •a=5 x1<0 ∣x1−x2>0 a=5 satidfait •a=6 x1=−18−((√(2344)) /2) <0 x2=−18+((√(2344)) /2>0 ∣x1∣=18+((√(2344)) /2)+18−((√(2344)) /2)>0 • donc a∈[5,+∞ [ satisfait satisfait aux conditions •a=−(1/4) x1=−(1/(32))−(((13)/(3(√7))) )/2 x_2 =−(1/(32))+((13)/(3(√7))) ∣x1∣−x2>0 •a=−(1/4) satisfait conclusion: a∈]−∞,−3]∪ [−(1/4),5]∪[5,+∞[](Q177091.png)
$${somme}\:{dds}\:{racinesx}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} =−{a}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} \:=\frac{{a}+\mathrm{3}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{19}{a}−\mathrm{5}} \\ $$$$\Delta={a}^{\mathrm{4}} \:−\mathrm{4}\left(\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{19}{a}−\mathrm{5}\right)\left({a}+\mathrm{3}\right)>\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{4}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{19}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{54}{a}−\mathrm{5}{a}−\mathrm{15}\right) \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{4}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{59}{a}−\mathrm{15}\right) \\ $$$$\Delta=\left({a}+\mathrm{2},\mathrm{714}\right)\left({a}+\mathrm{0},\mathrm{263}\right)\left({a}−\mathrm{6},\mathrm{991}\right)\left({a}−\mathrm{11},\mathrm{986}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left.{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{16}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{28}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{236}{a}+\mathrm{60}\right) \\ $$$$ \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\left(−{a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{16}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{28}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{236}{a}+\mathrm{60}}\:\right)\:/\mathrm{2} \\ $$$$= \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\frac{−{a}^{\mathrm{2}} −\sqrt{{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{16}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{28}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{236}{a}+\mathrm{60}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:{a}=\mathrm{0}\:\:{a}\in\left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\mathrm{5}\right\}\:\:{x}_{\mathrm{1}} =−\frac{\sqrt{\mathrm{60}}}{\mathrm{2}}<\mathrm{0}\:\:\:{x}_{\mathrm{2}} >\mathrm{0}\: \\ $$$$\mid{x}\:\mid−{x}_{\mathrm{2}} \:=\sqrt{\mathrm{60}}\:>\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\left.\:\:\:\:{a}\in\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:,\mathrm{5}\left[\:\:\:{satisfait}\right. \\ $$$$\:\:\bullet{a}=−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:{pas}\:{de}\:{solutions}\:{reels} \\ $$$$\left.{donc}\:{a}\notin\right]−\mathrm{3},−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\right. \\ $$$$\bullet{a}= \\ $$$$\:\:\:\bullet{a}=−\mathrm{4} \\ $$$${a}=−\mathrm{4}\in\left\{−\infty,−\mathrm{3}\right\}\:\:\:\:{x}\mathrm{1}=−\mathrm{8}−\left(\sqrt{\mathrm{784}}\:\right)/\mathrm{2}<\mathrm{0}\:\:\:\:\mid \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{8}+\left(\sqrt{\left.\mathrm{784}\right)}\:\:/\mathrm{2}>\mathrm{0}\right. \\ $$$$\mid{x}\mathrm{1}\mid−{x}\mathrm{2}\:\:>\mathrm{0} \\ $$$$\left.\:\:\bullet\:\:{donc}\:\:\:\:\:\:\:{a}\in\right]\:−\infty,−\mathrm{3}\left[\:\:{satisfait}\:{aux}\:{conditions}\right. \\ $$$$\left.{a}=−\mathrm{3}\:\:\:\:{x}\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{81}+\mathrm{656}+\mathrm{84}−\mathrm{678}+\mathrm{60}\:\:\:}\:\right)/\mathrm{2}=\frac{−\mathrm{9}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{113}}<\mathrm{0}\left(\lambda>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{113}}>\mathrm{0}\:\:\:\mid{x}\mathrm{1}\mid−{x}\mathrm{2}=\mathrm{9}>\mathrm{0} \\ $$$$\:\bullet\:{donc}\:\:\:\:{a}=−\mathrm{3}\:\:\:{satisfait} \\ $$$$ \\ $$$${a}=−\mathrm{2}\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{16}+\mathrm{128}+\mathrm{112}−\mathrm{472}+\mathrm{60}}\:\:\:\:\:{pas}\:{de}\:{solutiins}\:{reels} \\ $$$$\left.{dinc}\:\:\:{a}\notin\right]−\mathrm{3},−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\right. \\ $$$$\bullet{a}=\mathrm{5}\:\:{x}\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\:\mid{x}\mathrm{1}−{x}\mathrm{2}>\mathrm{0}\:\:\: \\ $$$${a}=\mathrm{5}\:\:\:{satidfait} \\ $$$$\bullet{a}=\mathrm{6}\:\:\:{x}\mathrm{1}=−\mathrm{18}−\left(\sqrt{\mathrm{2344}}\:/\mathrm{2}\right)\:\:<\mathrm{0} \\ $$$${x}\mathrm{2}=−\mathrm{18}+\left(\sqrt{\mathrm{2344}}\:/\mathrm{2}>\mathrm{0}\right. \\ $$$$\:\:\:\:\mid{x}\mathrm{1}\mid=\mathrm{18}+\left(\sqrt{\mathrm{2344}}\:/\mathrm{2}\right)+\mathrm{18}−\left(\sqrt{\mathrm{2344}}\:/\mathrm{2}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\bullet\:\:\:\:\:{donc}\:\:\:{a}\in\left[\mathrm{5},+\infty\:\left[\:\:\:{satisfait}\:\right.\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$$${satisfait}\:{aux}\:{conditions} \\ $$$$\:\bullet{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\:\:{x}\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}−\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{7}}}\:\right)/\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{7}}}\:\:\:\mid{x}\mathrm{1}\mid−{x}\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$$$\:\bullet{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\:{satisfait} \\ $$$${conclusion}: \\ $$$$\left.{a}\left.\in\right]−\infty,−\mathrm{3}\right]\cup\:\:\:\:\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\mathrm{5}\right]\cup\left[\mathrm{5},+\infty\left[\right.\right. \\ $$