Question Number 177873 by mr W last updated on 10/Oct/22
$${solve}\:{for}\:{x}\in\mathbb{R} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}}}}}}={x} \\ $$
Answered by Frix last updated on 10/Oct/22
$$\mathrm{for}\:\mathrm{given}\:{a}\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:{x}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that} \\ $$$$\sqrt{{a}+{x}}={x}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{4}{a}+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case}\:{a}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/Oct/22
$${thanks}\:{for}\:{solving}! \\ $$
Commented by Frix last updated on 10/Oct/22
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{first}\:\mathrm{I}\:\mathrm{had}\:\mathrm{been}\:\mathrm{confused}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{these} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}+{x}}={x} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}}}={x} \\ $$$$... \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}\underset{\left(\mathrm{n}\:\mathrm{times}\right)} {+...+}\sqrt{\mathrm{3}+{x}}}}={x} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{then}\:\mathrm{I}\:\mathrm{saw}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{obvious} \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 11/Oct/22
![3+(√(3+(√(3+(√(3+(√(3+x)) )))))) =x^2 3+(√(3+(√(3+(√(3+x)))) )) =(x^2 −3)^2 (√(3+(√(3+(√(3+x))))))=(x^2 −3)^2 −3 3+(√(3+(√(3+x)) ))) =[(x^2 −3)^2 −3]^2 (√(3+(√(3+x)))) =[(x^2 −3)^2 −3]^2 −3 3+(√(x+3 )) =[(x^2 −3)^2 −3)^2 −3]^2 x+3 =[(x^2 −3)^2 −3)^2 −3]^2 −3]^2 x^2 =[(x^2 −3)^2 −3)^2 −3)^2 −3)^2 −3]^2 x^2 −3 =[(x^2 −3)^2 −3)^2 −3)^2 −3)^2 −3)]^2 −3 posons t=(x^2 −3)^2 (t−3)^2 −3)^2 −3)^2 −3)^2 (t^2 −6t+6)^2 −3)^2 −3)^2 −3 t^4 −24t^3 +48t^2 −72t+30)^2 −3)^2 −3 [(t−0,57541)^2 −3)^2 ]−3^ x^2 −3=(√t) =(t−0,57541)^4 −6(t−0,57541)]^2 +6 t=[t−0,57541)^4 −6(t−0,57541)^2 +6]^2 ....... to complete...](Q177907.png)
$$\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}}\:}}}\:={x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}}}\:}\:=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}}}}=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{3}+\sqrt{\left.\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}}\:\right)}\:=\left[\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left[\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right]^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$$\left.\:\mathrm{3}+\sqrt{{x}+\mathrm{3}\:}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left[\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.{x}\left.+\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left[\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right]^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.{x}^{\mathrm{2}} \left.\:\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left[\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.{x}^{\mathrm{2}} \left.−\left.\mathrm{3}\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left[\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)\right]^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$${posons}\:\:\:{t}=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\left(\left.{t}\left.−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\left(\left.{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{t}+\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$$\left.{t}^{\mathrm{4}} \left.−\mathrm{24}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{48}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{72}{t}+\mathrm{30}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$$\left.\left[\left({t}−\mathrm{0},\mathrm{57541}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \right]−\overset{} {\mathrm{3}} \\ $$$$\left.{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\sqrt{{t}}\:=\left({t}−\mathrm{0},\mathrm{57541}\right)^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}\left({t}−\mathrm{0},\mathrm{57541}\right)\right]^{\mathrm{2}} +\mathrm{6} \\ $$$$\left.{t}=\left[{t}−\mathrm{0},\mathrm{57541}\right)^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}\left({t}−\mathrm{0},\mathrm{57541}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$....... \\ $$$$\:\:{to}\:{complete}...\:\: \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 11/Oct/22
![[(t−0,56541)^4 −6(t−0,57541)^2 +6]^2 −(t−0,57541)+0,57541=0 (Z^4 −6Z^2 )−Z+0,57541=0 (x^2 −3)^2 =t x^2 =(√(t^ )) +3](Q177908.png)
$$\left[\left({t}−\mathrm{0},\mathrm{56541}\right)^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}\left({t}−\mathrm{0},\mathrm{57541}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\right]^{\mathrm{2}} −\left({t}−\mathrm{0},\mathrm{57541}\right)+\mathrm{0},\mathrm{57541}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({Z}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}{Z}^{\mathrm{2}} \right)−{Z}+\mathrm{0},\mathrm{57541}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} ={t}\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} =\sqrt{{t}^{\:} \:\:}\:+\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$