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Question Number 178354 by Spillover last updated on 15/Oct/22

Show that the minimum value of sinh x+ncosh x is (√(n^2 −1)) and this occurs x=0.5ln (((n−1)/(n+1)))

$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{sinh}\:\mathrm{x}+\mathrm{ncosh}\:\mathrm{x}\:\mathrm{is}\:\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{this}\:\mathrm{occurs}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}.\mathrm{5ln}\:\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 16/Oct/22

y=sinhx+ncoshx (dy/dx)=0 ⇒coshx+nsinhx=0 ⇒cothx=−n ⇒((e^(2x) +1)/(e^(2x) −1))=−n ⇒(n+1)e^(2x) =n−1 ⇒x_(min) =(1/2)ln(((n−1)/(n+1))) y_(min) =sinh(x_(min) )+ncosh(x_(min) ) =(1/2)((√((n−1)/(n+1)))−(√((n+1)/(n−1))))+(n/2)((√((n−1)/(n+1)))+(√((n+1)/(n−1)))) =(1/2)(((−2)/( (√(n^2 −1)))))+(n/2)(((2n)/( (√(n^2 −1)))))=((n^2 −1)/( (√(n^2 −1))))=(√(n^2 −1))

$$\mathrm{y}=\mathrm{sinh}{x}+{n}\mathrm{cosh}{x} \\ $$$$\frac{{d}\mathrm{y}}{{dx}}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{cosh}{x}+{n}\mathrm{sinh}{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{coth}{x}=−{n}\:\Rightarrow\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} +\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{1}}=−{n} \\ $$$$\Rightarrow\left({n}+\mathrm{1}\right){e}^{\mathrm{2}{x}} ={n}−\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}_{\mathrm{min}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{min}} =\mathrm{sinh}\left({x}_{\mathrm{min}} \right)+{n}\mathrm{cosh}\left({x}_{\mathrm{min}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}}−\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}}\right)+\frac{{n}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{−\mathrm{2}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\right)+\frac{{n}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{2}{n}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\right)=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$

Commented by Spillover last updated on 16/Oct/22

thanks

$${thanks} \\ $$

Commented by Spillover last updated on 17/Oct/22

please explain the second line from the end.

$$\mathrm{please}\:\mathrm{explain}\:\mathrm{the}\:\mathrm{second}\:\mathrm{line} \\ $$$$\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{end}. \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 17/Oct/22

sinh(x_(min) )+ncosh(x_(min) ) =(1/2)(e^x_(min) −e^(−x_(min) ) )+(n/2)(e^x_(min) +e^(−x_(min) ) ) =(1/2)(e^((1/2)ln(((n−1)/(n+1)))) −e^(−(1/2)ln(((n−1)/(n+1)))) )+(n/2)(e^((1/2)ln(((n−1)/(n+1)))) +e^(−(1/2)ln(((n−1)/(n+1)))) ) e^((1/2)ln(((n−1)/(n+1)))) =e^(ln(((n−1)/(n+1)))^(1/2) ) =(((n−1)/(n+1)))^(1/2) =(√((n−1)/(n+1))) e^(−(1/2)ln(((n−1)/(n+1)))) =(1/e^((1/2)ln(((n−1)/(n+1)))) )

$$\mathrm{sinh}\left({x}_{\mathrm{min}} \right)+{n}\mathrm{cosh}\left({x}_{\mathrm{min}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({e}^{{x}_{\mathrm{min}} } −{e}^{−{x}_{\mathrm{min}} } \right)+\frac{{n}}{\mathrm{2}}\left({e}^{{x}_{\mathrm{min}} } +{e}^{−{x}_{\mathrm{min}} } \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} −{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} \right)+\frac{{n}}{\mathrm{2}}\left({e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} +{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} \right) \\ $$$${e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} ={e}^{\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} } =\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \\ $$$${e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} =\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} } \\ $$

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