Question Number 180569 by SAMIRA last updated on 13/Nov/22 | ||
$$\sqrt{\boldsymbol{{x}}+\mathrm{4}}\:−\:\sqrt{\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}}\:>\:\sqrt{\mathrm{4}\boldsymbol{{x}}+\mathrm{5}} \\ $$ | ||
Commented byFrix last updated on 14/Nov/22 | ||
$$\mathrm{false}. \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{for}\:{x}\geqslant\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{but}\:\mathrm{for}\:{x}\geqslant\mathrm{0}:\:\sqrt{{x}+\mathrm{4}}<\sqrt{\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}} \\ $$ $$\Rightarrow \\ $$ $$\mathrm{for}\:{x}\geqslant\mathrm{1}\:\sqrt{{x}+\mathrm{4}}<\sqrt{\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}\wedge\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\geqslant\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\sqrt{{x}+\mathrm{4}}−\sqrt{{x}−\mathrm{1}}<\sqrt{\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}} \\ $$ | ||
Answered by Acem last updated on 14/Nov/22 | ||
$${f}\left({x}\right)=\:\sqrt{\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}\:\:;\:{x}\in\:\left[−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}},\:+\infty\left[\:\right.\right. \\ $$ $${c}_{\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}.\mathrm{25},\:\mathrm{0}\right),\:{c}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0},\:\sqrt{\mathrm{5}}\right) \\ $$ $$ \\ $$ $${g}\left({x}\right)=\:\sqrt{{x}+\mathrm{4}}\:−\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\:;\:{x}\in\:\left[\mathrm{1},\:+\infty\left[\:\right.\right. \\ $$ $$\:{c}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1},\:\sqrt{\mathrm{5}}\right)\:, \\ $$ $$\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:{g}\left({x}\right)=\:\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\sqrt{{x}+\mathrm{4}}\:−\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\right)\left(\sqrt{{x}+\mathrm{4}}\:+\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\right)}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{4}}\:+\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}} \\ $$ $$\:\:=\:\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{4}}\:+\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}\:=\mathrm{0} \\ $$ $$\:\Rightarrow\:{for}\:{x}\in\:\left[\mathrm{1},\:+\infty\left[\:\::\:{g}\left({x}\right)\:\in\:\left[\sqrt{\mathrm{5}}\:,\:\mathrm{0}\left[\right.\right.\right.\right. \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\&\:{f}\left({x}\right)\:\in\:\left[\mathrm{3},\:+\infty\left[\right.\right. \\ $$ $$\:\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}\:\:{is}\:{always}\:{bigger}\:{than}\:{g}\left({x}\right)\:\forall{x}\in\:\left[\mathrm{1},\:+\infty\left[\right.\right. \\ $$ $${Then}\:{the}\:{statement}\: \\ $$ $$\sqrt{{x}+\mathrm{4}}\:−\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\:>\:\sqrt{\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}\:\:\:{is}\:{wrong}\:{or}\:{x}\in\:\emptyset \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byAcem last updated on 13/Nov/22 | ||