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Question Number 180828 by Vynho last updated on 17/Nov/22

H_n =1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n) H_(2n) =? compute H_(2n) −H_n and H_(n+1) −H_n

$${H}_{{n}} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$${H}_{\mathrm{2}{n}} =?\:{compute}\:{H}_{\mathrm{2}{n}} −{H}_{{n}} \:{and}\:{H}_{{n}+\mathrm{1}} −{H}_{{n}} \\ $$

Commented by Frix last updated on 17/Nov/22

obviously H_(n+1) −H_n =(1/(n+1)) I believe that lim_(n→∞) (H_(kn) −H_n ) =ln k for k∈N

$$\mathrm{obviously}\:{H}_{{n}+\mathrm{1}} −{H}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{believe}\:\mathrm{that}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left({H}_{{kn}} −{H}_{{n}} \right)\:=\mathrm{ln}\:{k}\:\mathrm{for}\:{k}\in\mathbb{N} \\ $$

Answered by Frix last updated on 19/Nov/22

H_(2n) −H_n =Σ_(k=1) ^(2n) (1/k)−Σ_(k=1) ^n (1/k)= =(1/1)+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/(2n))−Σ_(k=1) ^n (1/k)= =(1/1)+(1/3)+...+(1/(2n−1))+(1/2)+(1/4)+...+(1/(2n))−Σ_(k=1) ^n (1/k)= =Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))+Σ_(k=1) ^n (1/(2k))−Σ_(k=1) ^n (1/k)= =Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))+(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/k)−Σ_(k=1) ^n (1/k)= =Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))−(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/k)=Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))−(H_n /2) ⇒ H_(2n) =(H_n /2)+Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))

$${H}_{\mathrm{2}{n}} −{H}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{{H}_{{n}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${H}_{\mathrm{2}{n}} =\frac{{H}_{{n}} }{\mathrm{2}}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}} \\ $$

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