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Question Number 18131 by Tinkutara last updated on 15/Jul/17

$$\mathrm{A}\mathrm{stone}\mathrm{is}\mathrm{projected}\mathrm{from}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}$$$$\mathrm{ground}\mathrm{in}\mathrm{such}\mathrm{a}\mathrm{direction}\mathrm{so}\mathrm{as}\mathrm{to}\mathrm{hit}\mathrm{a}$$$$\mathrm{bird}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{top}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{telegraph}\mathrm{post}\mathrm{of}$$$$\mathrm{height}h,\mathrm{and}\mathrm{then}\mathrm{attain}\mathrm{a}\mathrm{height}2h$$$$\mathrm{above}\mathrm{the}\mathrm{ground}.\mathrm{If},\mathrm{at}\mathrm{an}\mathrm{instant}\mathrm{of}$$$$\mathrm{projection},\mathrm{the}\mathrm{bird}\mathrm{were}\mathrm{to}\mathrm{fly}\mathrm{away}$$$$\mathrm{horizontal}\mathrm{with}\mathrm{a}\mathrm{uniform}\mathrm{speed},\mathrm{find}$$$$\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{horizontal}\mathrm{velocities}\mathrm{of}$$$$\mathrm{the}\mathrm{bird}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{stone},\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{stone}\mathrm{still}$$$$\mathrm{hits}\mathrm{the}\mathrm{bird}.$$

Commented by Tinkutara last updated on 15/Jul/17

Commented by ajfour last updated on 15/Jul/17

$$\mathrm{y}=\mathrm{xtan}\theta -\frac{{\mathrm{gx}}^2}{{2\mathrm{u}}^2\cos {}^2\theta }$$$$\mathrm{let}\mathrm{m}=\tan \theta ,\theta \mathrm{the}\mathrm{\angle }\mathrm{of}\mathrm{projection}.$$$$\mathrm{x}=\mathrm{d},\mathrm{and}\mathrm{and}\mathrm{x}=\mathrm{R}-\mathrm{d}\mathrm{when}\mathrm{y}=\mathrm{h}$$$$\mathrm{d}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{to}\mathrm{telegraph}\mathrm{post}$$$$\mathrm{from}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{projection}.\mathrm{R}\mathrm{is}\mathrm{the}$$$$\mathrm{range}\mathrm{of}\mathrm{stone}.\mathrm{So}$$$$\mathrm{h}=\mathrm{mx}-\frac{{\mathrm{gx}}^2}{2}(1+{\mathrm{m}}^2)$$$$\mathrm{g}(1+{\mathrm{m}}^2){\mathrm{x}}^2-2\mathrm{mx}+2\mathrm{h}=0$$$$\mathrm{roots}\mathrm{are}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{and}\mathrm{x}=\mathrm{R}-\mathrm{d}$$$$\Rightarrow \mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{roots}=\mathrm{R}=\frac{2\mathrm{m}}{\mathrm{g}(1+{\mathrm{m}}^2)}$$$$\mathrm{product}=\mathrm{d}(\mathrm{R}-\mathrm{d})=\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}(1+{\mathrm{m}}^2)}$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}(\mathrm{R}-\mathrm{d})}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{m}}....\left(\mathrm{i}\right)$$$$2\mathrm{h}=\frac{{\mathrm{u}}^2\sin {}^2\theta }{2\mathrm{g}}\mathrm{and}\mathrm{R}=\frac{{2\mathrm{u}}^2\sin \theta \cos \theta }{\mathrm{g}}$$$$\mathrm{dividing}\mathrm{equations}\mathrm{we}\mathrm{get}$$$$\frac{8\mathrm{h}}{\mathrm{R}}=\mathrm{m}\Rightarrow \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{R}}{8}$$$$\mathrm{substituting}\mathrm{for}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{m}}\mathrm{in}\left(\mathrm{i}\right)$$$$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{R}-\mathrm{d})}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{R}}{8}$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}(1-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}})=\frac{1}{8}$$$${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\right)}^2-\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\right)+\frac{1}{8}=0$$$$\Rightarrow {(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}-\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{8}\Rightarrow \mathrm{R}-2\mathrm{d}=\frac{\mathrm{R}}{\sqrt{2}}$$$$\mathrm{R}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})=2\mathrm{d}$$$$\mathrm{let}\mathrm{v}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{bird}\mathrm{velocity}$$$$\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{ucos}\theta }=\frac{\mathrm{R}-2\mathrm{d}}{\mathrm{R}-\mathrm{d}}=\frac{1-\frac{2\mathrm{d}}{\mathrm{R}}}{1-\mathrm{d}/\mathrm{R}}$$$$=\frac{1-(1-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}})}=\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}})}$$$$=\frac{2}{\sqrt{2}+1}.$$

Commented by Tinkutara last updated on 15/Jul/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{Sir}!$$

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