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Question Number 181719 by cortano1 last updated on 29/Nov/22

Answered by mr W last updated on 29/Nov/22

say BA=a BD^2 =4^2 +8^2 −2×4×8 cos 120° BD^2 =(4(√3))^2 +a^2 −2×4(√4)×a cos 60° (4(√3))^2 +a^2 −4(√3)×a=4^2 +8^2 +4×8 a^2 −4(√3)×a−64=0 a=2((√3)+(√(19))) CA^2 =8^2 +(4(√3))^2 +2×8×4(√3) cos φ CA^2 =4^2 +(2((√3)+(√(19))))^2 −2×4×2((√3)+(√(19))) cos φ 4^2 +(2((√3)+(√(19))))^2 −16((√3)+(√(19))) cos φ=8^2 +(4(√3))^2 +64(√3) cos φ ((√(3×19))−1)=2(5(√3)+(√(19))) cos φ cos φ=(((√(57))−1)/(2(5(√3)+(√(19)))))=((2(√(19))−3(√3))/(14)) ⇒φ=cos^(−1) ((2(√(19))−3(√3))/(14))≈75.43°

$${say}\:{BA}={a} \\ $$$${BD}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{4}×\mathrm{8}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{120}° \\ $$$${BD}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{4}}×{a}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{60}° \\ $$$$\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}×{a}=\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}×\mathrm{8} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}×{a}−\mathrm{64}=\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right) \\ $$$${CA}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{8}×\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$${CA}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{4}×\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\:\mathrm{cos}\:\phi=\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{64}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{3}×\mathrm{19}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\mathrm{cos}\:\phi=\frac{\sqrt{\mathrm{57}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{14}} \\ $$$$\Rightarrow\phi=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{14}}\approx\mathrm{75}.\mathrm{43}° \\ $$

Commented by cortano1 last updated on 01/Dec/22

thank you sir

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

Answered by mr W last updated on 01/Dec/22

alternative: BD^2 =4^2 +8^2 +2×4×8×cos 60°=112 CA^2 =8^2 +(4(√3))^2 +2×8×4(√3)×cos φ=112+64(√3) cos φ ((BD)/(sin 60°))=((CA)/(sin φ)) ((4×112)/3)=((112+64(√3) cos φ)/(sin^2 φ)) 28 cos^2 φ+12(√3) cos φ−7=0 cos φ=((−3(√3)+2(√(19)))/(14)) ⇒φ=cos^(−1) ((−3(√3)+2(√(19)))/(14))≈75.43°

$${alternative}: \\ $$$${BD}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{4}×\mathrm{8}×\mathrm{cos}\:\mathrm{60}°=\mathrm{112} \\ $$$${CA}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{8}×\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}×\mathrm{cos}\:\phi=\mathrm{112}+\mathrm{64}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\frac{{BD}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{60}°}=\frac{{CA}}{\mathrm{sin}\:\phi} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}×\mathrm{112}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{112}+\mathrm{64}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\phi} \\ $$$$\mathrm{28}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\phi+\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\phi=\frac{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{14}} \\ $$$$\Rightarrow\phi=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{14}}\approx\mathrm{75}.\mathrm{43}° \\ $$

Answered by cortano1 last updated on 01/Dec/22

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