Question Number 182066 by HeferH last updated on 03/Dec/22
Answered by a.lgnaoui last updated on 04/Dec/22
![△ABC ABcos 2x+BCcos x=ADcos 3x+CDcos 4x ((sin 2x)/(BC))=((sinx )/(AB)) (1) ((sin 3x)/(CD)) =((sin 4x)/(AD))(2) ABsin 2x=BCsin x AD sin 3x=CDsin 4x AB=((BCsin x)/(sin 2x)) CD=((ADsin 3x)/(sin 4x)) (( [BCcos 2x×sin x)/(sin 2x))+BCcos x=ADcos 3x+((ADcos 4x×sin 3x)/(sin 4x)) BC(((cos 2x×sin x)/(sin 2x))+cos x)=AD(((cos 4x×sin 3x)/(sin 4x))+cos 3x) BC=AD ((sin 3x)/(sin 2x))=((sin 7x)/(sin 4x))⇒ sin 3x×sin 4x=sin 7x×sin 2x sin 7x=((sin 3x×sin 4x)/(sin 2x))=2cos 2x×sin 3x sin 6xcos x+cos 6xsin x=2sin 3x×cos 3x×cos x+cos 6xsin x 2sin 3xcos 3x×cos x+sin x(cos^2 3x−sin^2 3x) =sin 3x[2cos x(cos 3x)−sin x×sin 3x)]+sin x×cos^2 3x sin 3x(cos xcos 3x+cos 4x)]+sin x×cos^2 x sin 3x(4cos^4 x−3cos^2 +8cos^4 x−8cos^2 x+1)+sin ×cos^2 x (1) 2cos 2x×sin 3x=2sin x(2cos^2 x−1)(4cos^2 x−1) (2) (1)=sin x(4cos^2 x−1)(12cos^4 x−11cos^2 x+1)+sin x×cos^2 x =sin x(4cos^2 x−1)(12cos^4 x−11cos^2 x+1)+cos^2 x) (1)=(2)⇒ (4cos^2 x−1)(12cos^4 x−11cos^2 x+1)+cos^2 x =2(cos^2 x−1)(4cos^2 x−1) 48cos^6 x−44cos^4 x+4cos^2 x−12cos^4 x+11cos^2 x−1+cos^2 x =2(4cos^4 x−cos^2 x−4cos^2 x+1 posons cos x=z 48z^6 −56z^4 +16z^2 −1=8z^4 −10z^2 +2 48z^6 −64z^4 +26z^2 −3=0 z^2 =X 48X^3 −64X^2 +26X−3=0 z={0,44293 ;0,707106 ;0,79821422} soit x={37;45,63} Solution: x=37° Verification 2x=74 3x=111>90=90+21 ∡DAC=79 4x=148 90+58 ∡ ACD =42 (3x<0 4x<0=)](Q182148.png)
$$\bigtriangleup\mathrm{ABC}\:\: \\ $$$$\mathrm{ABcos}\:\mathrm{2x}+\mathrm{BCcos}\:\mathrm{x}=\mathrm{ADcos}\:\mathrm{3x}+\mathrm{CDcos}\:\mathrm{4x} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{sinx}\:}{\mathrm{AB}}\:\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{CD}}\:\:\:\:=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}}{\mathrm{AD}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{ABsin}\:\mathrm{2x}=\mathrm{BCsin}\:\mathrm{x}\:\:\:\:\:\mathrm{AD}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}=\mathrm{CDsin}\:\mathrm{4x} \\ $$$$\mathrm{AB}=\frac{\mathrm{BCsin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{CD}=\frac{\mathrm{ADsin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}} \\ $$$$\frac{\:\left[\mathrm{BCcos}\:\mathrm{2x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right.}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}+\mathrm{BCcos}\:\mathrm{x}=\mathrm{ADcos}\:\mathrm{3x}+\frac{\mathrm{ADcos}\:\mathrm{4x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}} \\ $$$$\mathrm{BC}\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{AD}\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\right) \\ $$$$\mathrm{BC}=\mathrm{AD} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{7x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}}\Rightarrow\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}=\mathrm{sin}\:\mathrm{7}{x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{7x}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}=\mathrm{2cos}\:\mathrm{2x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{6xcos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{6xsin}\:\mathrm{x}=\mathrm{2sin}\:\mathrm{3x}×\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}×\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{6xsin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{2sin}\:\mathrm{3xcos}\:\mathrm{3x}×\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{3x}\right) \\ $$$$\left.=\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}\left[\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\right)−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}×\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}\right)\right]+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}×\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3x} \\ $$$$\left.\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{3x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}\right)\right]+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}×\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}\left(\mathrm{4cos}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{x}−\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{8cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}−\mathrm{8cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{sin}\:×\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2cos}\:\mathrm{2x}×\mathrm{sin}\:\:\mathrm{3x}=\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{12cos}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{x}−\mathrm{11cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}×\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{12cos}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{x}−\mathrm{11cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)=\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow \\ $$$$\:\left(\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{12cos}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{x}−\mathrm{11cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{48cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}−\mathrm{44cos}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{x}+\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{12cos}^{\mathrm{4}} {x}+\mathrm{11cos}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{1}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\: \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{4}} {x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{1}\right. \\ $$$${posons}\:\:\:\mathrm{cos}\:{x}={z} \\ $$$$\mathrm{48}{z}^{\mathrm{6}} −\mathrm{56}{z}^{\mathrm{4}} +\mathrm{16}{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{8}{z}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10}{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{48}{z}^{\mathrm{6}} −\mathrm{64}{z}^{\mathrm{4}} +\mathrm{26}{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{X} \\ $$$$\mathrm{48X}^{\mathrm{3}} −\mathrm{64X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{26X}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${z}=\left\{\mathrm{0},\mathrm{44293}\:\:\:\:;\mathrm{0},\mathrm{707106}\:\:\:\:\:;\mathrm{0},\mathrm{79821422}\right\} \\ $$$${soit}\:\:\:\:\mathrm{x}=\left\{\mathrm{37};\mathrm{45},\mathrm{63}\right\} \\ $$$${Solution}:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{37}° \\ $$$${Verification} \\ $$$$\mathrm{2}{x}=\mathrm{74}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}{x}=\mathrm{111}>\mathrm{90}=\mathrm{90}+\mathrm{21}\:\:\:\measuredangle{DAC}=\mathrm{79} \\ $$$$\mathrm{4}{x}=\mathrm{148}\:\:\:\:\:\mathrm{90}+\mathrm{58}\:\:\:\:\:\:\measuredangle\:{ACD}\:\:\:\:\:\:=\mathrm{42} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}<\mathrm{0}\:\:\:\:\mathrm{4}{x}<\mathrm{0}=\right) \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 04/Dec/22
Commented by HeferH last updated on 04/Dec/22
$${I}\:{got}\:{x}\:=\:\mathrm{10}°,\:{but}\:{I}\:{may}\:{be}\:{wrong} \\ $$
Commented by Frix last updated on 05/Dec/22
$$\mathrm{Obviously}\:\measuredangle{ADC}=\mathrm{180}°−\mathrm{7}{x}>\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${x}<\frac{\mathrm{180}°}{\mathrm{7}}\approx\mathrm{25}.\mathrm{72}° \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{also}\:\mathrm{get}\:{x}=\mathrm{10}° \\ $$
Answered by mr W last updated on 06/Dec/22
$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{7}{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{10}° \\ $$