Question Number 182704 by HeferH last updated on 13/Dec/22
$${On}\:{a}\:{path}\:{there}\:{was}\:{an}\:{odd}\:{number}\:{of}\:{rocks} \\ $$$$\:{with}\:{a}\:{distance}\:{of}\:\mathrm{10}{m}\:{between}\:{them},\:{we}\: \\ $$$$\:{want}\:{to}\:{put}\:{them}\:{all}\:{where}\:{the}\:{middle}\:{one}\:{is}, \\ $$$$\:{if}\:{we}\:{start}\:{to}\:{collect}\:{from}\:{one}\:{of}\:{the}\:{ends}\:{and} \\ $$$$\:{when}\:{we}\:{finish}\:{we}\:{have}\:{walked}\:\mathrm{3}{km}\:{in}\:{total}, \\ $$$$\:{how}\:{many}\:{rocks}\:{are}\:{there}? \\ $$
Answered by TheSupreme last updated on 13/Dec/22
$${if}\:{n}=\mathrm{1}\:{S}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$${if}\:{n}=\mathrm{3}\:{S}_{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\ast\mathrm{10} \\ $$$${if}\:{n}=\mathrm{5}\:{S}_{\mathrm{5}} ={S}_{\mathrm{3}} +\mathrm{10}+\mathrm{2}\ast\mathrm{3}\ast\mathrm{10} \\ $$$${S}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} ={S}_{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{10}\ast\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\ast{n}\ast\mathrm{10} \\ $$$${S}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{10}\left({i}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{30}\ast{i}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{40}{i}−\mathrm{10} \\ $$$${S}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{40}\:\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\mathrm{10}{n} \\ $$$$\mathrm{3000}=\mathrm{20}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{n}=\mathrm{10}{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${n}=\mathrm{12} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mr W last updated on 13/Dec/22
$${say}\:{there}\:{are}\:\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\:{rocks}\:{with}\:{distance}\:{d} \\ $$$${between}\:{them}. \\ $$$${total}\:{distance}\:{to}\:{walk}: \\ $$$${L}=\mathrm{4}\left({d}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{3}{d}+...+{nd}\right)−{nd}={n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){d} \\ $$$$\mathrm{3000}={n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +{n}−\mathrm{300}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{n}=\mathrm{12} \\ $$$${i}.{e}.\:{there}\:{are}\:\mathrm{2}×\mathrm{12}+\mathrm{1}=\mathrm{25}\:{rocks} \\ $$