Question Number 182835 by SANOGO last updated on 15/Dec/22
$${s}\left({n}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+{oo}} {\sum}}\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:+{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}{x}^{{n}} \:=? \\ $$
Answered by mr W last updated on 15/Dec/22
$${e}^{{x}} −\mathrm{1}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$\Rightarrow{e}^{−{x}} −\mathrm{1}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}} }{{n}!}\:\:\:\:\:\:...\left({i}\right) \\ $$$${e}^{{x}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{nx}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!} \\ $$$${xe}^{{x}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{nx}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$${e}^{{x}} +{xe}^{{x}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!} \\ $$$$\Rightarrow{xe}^{{x}} +{x}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}} }{{n}!}\:\:\:\:\:...\left({ii}\right) \\ $$$$\left({i}\right)+\left({ii}\right): \\ $$$$\Rightarrow{s}\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}{x}^{{n}} ={x}\left(\mathrm{1}+{x}\right){e}^{{x}} +{e}^{−{x}} −\mathrm{1} \\ $$
Commented by SANOGO last updated on 15/Dec/22
$${merci}\:{bien} \\ $$