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Question Number 18320 by Tinkutara last updated on 18/Jul/17

$$\mathrm{In}\mathrm{a}\mathrm{triangle}ABC\mathrm{with}\mathrm{fixed}\mathrm{base}BC,$$$$\mathrm{the}\mathrm{vertex}A\mathrm{moves}\mathrm{such}\mathrm{that}\cos B+$$$$\cos C=4{\sin }^2\frac{A}{2}.\mathrm{If}a,b\mathrm{and}c\mathrm{denote}$$$$\mathrm{the}\mathrm{lengths}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{triangle}$$$$\mathrm{opposite}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{angles}A,B\mathrm{and}C$$$$\mathrm{respectively},\mathrm{then}$$$$\left(1\right)b+c=4a$$$$\left(2\right)b+c=2a$$$$\left(3\right)\mathrm{Locus}\mathrm{of}\mathrm{point}A\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{ellipse}$$$$\left(4\right)\mathrm{Locus}\mathrm{of}\mathrm{point}A\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{straight}$$$$\mathrm{lines}$$

Answered by ajfour last updated on 19/Jul/17

Commented by ajfour last updated on 19/Jul/17

$$\mathrm{Given}:\cos \mathrm{B}+\cos \mathrm{C}=4\sin {}^2\frac{\mathrm{A}}{2}$$$$\mathrm{and}\mathrm{a}=\mathrm{constant}.$$$$\Rightarrow \cos \mathrm{B}+\cos \mathrm{C}=2(1-\cos \mathrm{A})$$$$\cos \mathrm{B}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{c}},\cos \mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{b}},$$$$\cos \mathrm{A}=\frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}}$$$${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{c}}^2$$$${(\mathrm{a}-\mathrm{x})}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{b}}^2$$$$\mathrm{subtracting}\mathrm{we}\mathrm{get}$$$$\mathrm{a}(2\mathrm{x}-\mathrm{a})=-(\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{b}-\mathrm{c})$$$$\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{2}-\frac{(\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{b}-\mathrm{c})}{2\mathrm{a}}$$$$=\frac{{\mathrm{a}}^2-(\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{b}-\mathrm{c})}{2\mathrm{a}}.....\left(\mathrm{i}\right)$$$$\mathrm{from}\mathrm{given}\mathrm{condition}$$$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{b}}=2(1-\cos \mathrm{A})$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{ac}+\mathrm{x}(\mathrm{b}-\mathrm{c})}{\mathrm{bc}}=2(1-\frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}})$$$$\mathrm{replacing}\mathrm{x}\mathrm{from}\left(\mathrm{i}\right):$$$$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2\mathrm{abc}}\right)[{\mathrm{a}}^2-(\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{b}-\mathrm{c})]$$$$=2\left[\frac{2\mathrm{bc}-({\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2)+{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}}\right]$$$${2\mathrm{a}}^2\mathrm{c}+{\mathrm{a}}^2(\mathrm{b}-\mathrm{c})-{(\mathrm{b}-\mathrm{c})}^2(\mathrm{b}+\mathrm{c})$$$$=-2\mathrm{a}{(\mathrm{b}-\mathrm{c})}^2+{2\mathrm{a}}^3$$$$\Rightarrow {\mathrm{a}}^2(2\mathrm{c}+\mathrm{b}-\mathrm{c}-2\mathrm{a})$$$$={(\mathrm{b}-\mathrm{c})}^2(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2\mathrm{a})$$$${\mathrm{a}}^2(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2\mathrm{a})={(\mathrm{b}-\mathrm{c})}^2(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2\mathrm{a})$$$$\Rightarrow 2\mathrm{a}=\mathrm{b}+\mathrm{c}\mathrm{or}\mathrm{a}=\mid \mathrm{b}-\mathrm{c}\mid$$$$\mathrm{If}\mathrm{we}\mathrm{accept}:\mathrm{b}+\mathrm{c}=2\mathrm{a}=\mathrm{constant},$$$$\mathrm{then}\mathrm{locus}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{ellipse}\mathrm{with}$$$$\mathrm{foci}\mathrm{at}\mathrm{B}\mathrm{and}\mathrm{C}.$$$$\mathrm{If}\mathrm{we}\mathrm{accept}\mathrm{a}=\mid \mathrm{b}-\mathrm{c}\mid \mathrm{then}\mathrm{A}\mathrm{lies}$$$$\mathrm{on}\mathrm{produced}\mathrm{BC}\mathrm{and}\mathrm{on}\mathrm{either}\mathrm{side}.$$

Commented by Tinkutara last updated on 19/Jul/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{Sir}!$$

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