Question Number 183669 by mnjuly1970 last updated on 28/Dec/22
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:{f}\left({x}\right)=\:\frac{{x}}{\mathrm{1}\:+\:{x}\:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{min}_{\:{f}} \:=\:? \\ $$
Answered by manolex last updated on 28/Dec/22
$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}+{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}}+{x}\:\:\gg\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}}+{x}+\mathrm{1}\gg\mathrm{3} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+{x}+\mathrm{1}}\ll\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\:\:{is}\:{max}\:\:\: \\ $$$${l}_{{x}\rightarrow\infty} {imf}\left({x}\right)=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\infty}+\mathrm{1}+\infty}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{0}+\mathrm{1}+\infty}=\frac{\mathrm{1}}{\infty}=\mathrm{0}\: \\ $$$${correction} \\ $$$${x}\langle\mathrm{0} \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\ll−\mathrm{2} \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}\ll−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}}\gg−\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{1}\ll{f}\left({x}\right)\ll\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${min}=−\mathrm{1} \\ $$
Commented by manolex last updated on 28/Dec/22
$${thanks},{Sir}\:{W},\:{for}\:{correction} \\ $$
Answered by mr W last updated on 28/Dec/22
$${if}\:{x}=\mathrm{0},\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${for}\:{x}\neq\mathrm{0}: \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}} \\ $$$${for}\:{x}>\mathrm{0}: \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${for}\:{x}<\mathrm{0}: \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{−\left(−{x}+\frac{\mathrm{1}}{−{x}}\right)+\mathrm{1}}\geqslant\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2}+\mathrm{1}}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{1}\leqslant{f}\left({x}\right)\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${i}.{e}.\:{max}.\:{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:{and}\:{min}.\:{f}\left({x}\right)=−\mathrm{1} \\ $$
Answered by Frix last updated on 28/Dec/22
$${f}'\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${f}''\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3}{x}−{x}^{\mathrm{3}} \right)}{\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}\wedge{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${f}''\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{is}\:−\mathrm{1}\:\mathrm{at}\:{x}=−\mathrm{1} \\ $$$${f}''\left(\mathrm{1}\right)=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\:\Rightarrow\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{is}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{at}\:{x}=\mathrm{1} \\ $$
Answered by manxsol last updated on 28/Dec/22
$$ \\ $$$${a}\:\:\ll\:\frac{{x}}{\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} }\ll{b} \\ $$$${a}\ll\frac{{x}}{\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{{a}+{ax}+{ax}^{\mathrm{2}} −{x}}{\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} }\:\ll\mathrm{0} \\ $$$${ax}^{\mathrm{2}} +\left({a}−\mathrm{1}\right){x}+{a}\ll\mathrm{0} \\ $$$$\bigtriangleup=\left({a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \gg\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}−\mathrm{1}−\mathrm{2}{a}\right)\left({a}−\mathrm{1}+\mathrm{2}{a}\right)\gg\mathrm{0} \\ $$$$\left(−{a}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{a}−\mathrm{1}\right)\gg\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{a}−\mathrm{1}\right)\ll\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{1}\ll{a}\ll\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${min}\:{f}\left({x}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mr W last updated on 29/Dec/22
$${nice}\:{approach}! \\ $$
Commented by manxsol last updated on 29/Dec/22
$${following}\:{his}\:{vision},\:{thanks} \\ $$