Question Number 184738 by mnjuly1970 last updated on 11/Jan/23
$$ \\ $$ $$\alpha\:\:,\:\beta\:\:{are}\:{roots}\:{of}\:\:,\:{x}^{\:\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\:\:\alpha\:>\:\beta\:\right)\:{and}\:,\:\:{t}_{\:{n}} =\:\frac{\alpha^{\:{n}} −\:\beta^{\:{n}} }{\alpha−\beta} \\ $$ $$\:\left(\:{n}\:\in\:\mathbb{N}\:\right),\:{if}\:,\:{b}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:,\:{b}_{\:{n}} =\:{t}_{\:{n}−\mathrm{1}} +{t}_{\:{n}−\mathrm{2}} \\ $$ $$\:\:\:\left(\:{n}\:\geqslant\mathrm{2}\:\right)\:{find}\:{the}\:{value}\:{of} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{S}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\:{b}_{\:{n}} }{\mathrm{10}^{\:{n}} }\:=? \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$
Answered by mr W last updated on 11/Jan/23
![α,β=((1±(√5))/2) α+1=α^2 β+1=β^2 α+β=1 αβ=−1 (α−β)^2 =(α+β)^2 −4αβ=5 ⇒α−β=(√5) t_n =((α^n −β^n )/(α−β))=(1/( (√5)))(α^n −β^n ) b_n =t_(n−1) +t_(n−2) =(1/( (√5)))(α^(n−1) +α^(n−2) −β^(n−1) +β^(n−2) ) =(1/( (√5)))(α^(n−2) (α+1)−β^(n−2) (β+1)) =(1/( (√5)))(α^n −β^n ) (b_n /(10^n ))=(1/( (√5)))[((α/(10)))^n −((β/(10)))^n ] S=Σ_(n=1) ^∞ (b_n /(10^n ))=(1/( (√5)))(((α/(10))/(1−(α/(10))))−((β/(10))/(1−(β/(10))))) =(1/( (√5)))((α/(10−α))−(β/(10−β))) =((10(α−β))/( (√5)(100−10(α+β)+αβ))) =((10)/(100−10−1)) =((10)/(89))](Q184763.png)
$$\alpha,\beta=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\alpha+\mathrm{1}=\alpha^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\beta+\mathrm{1}=\beta^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\alpha+\beta=\mathrm{1} \\ $$ $$\alpha\beta=−\mathrm{1} \\ $$ $$\left(\alpha−\beta\right)^{\mathrm{2}} =\left(\alpha+\beta\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\alpha\beta=\mathrm{5} \\ $$ $$\Rightarrow\alpha−\beta=\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$ $${t}_{{n}} =\frac{\alpha^{{n}} −\beta^{{n}} }{\alpha−\beta}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\alpha^{{n}} −\beta^{{n}} \right) \\ $$ $${b}_{{n}} ={t}_{{n}−\mathrm{1}} +{t}_{{n}−\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\alpha^{{n}−\mathrm{1}} +\alpha^{{n}−\mathrm{2}} −\beta^{{n}−\mathrm{1}} +\beta^{{n}−\mathrm{2}} \right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\alpha^{{n}−\mathrm{2}} \left(\alpha+\mathrm{1}\right)−\beta^{{n}−\mathrm{2}} \left(\beta+\mathrm{1}\right)\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\alpha^{{n}} −\beta^{{n}} \right) \\ $$ $$\frac{{b}_{{n}} }{\mathrm{10}^{{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left[\left(\frac{\alpha}{\mathrm{10}}\right)^{{n}} −\left(\frac{\beta}{\mathrm{10}}\right)^{{n}} \right] \\ $$ $${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{b}_{{n}} }{\mathrm{10}^{{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\frac{\frac{\alpha}{\mathrm{10}}}{\mathrm{1}−\frac{\alpha}{\mathrm{10}}}−\frac{\frac{\beta}{\mathrm{10}}}{\mathrm{1}−\frac{\beta}{\mathrm{10}}}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\frac{\alpha}{\mathrm{10}−\alpha}−\frac{\beta}{\mathrm{10}−\beta}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{10}\left(\alpha−\beta\right)}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\left(\mathrm{100}−\mathrm{10}\left(\alpha+\beta\right)+\alpha\beta\right)} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{100}−\mathrm{10}−\mathrm{1}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{89}} \\ $$
Commented bymnjuly1970 last updated on 11/Jan/23
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}\:{sir}\:\:{W} \\ $$