Question Number 184877 by Shrinava last updated on 13/Jan/23
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{last}\:\mathrm{ten}\:\mathrm{digits}: \\ $$$$\mathrm{5}^{\mathrm{23}} \:\centerdot\:\mathrm{2}^{\mathrm{2022}} \:−\:\mathrm{2023} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Jan/23
$$\mathrm{5}^{\mathrm{23}} \:\centerdot\:\mathrm{2}^{\mathrm{2022}} \:−\:\mathrm{2023} \\ $$$$\mathrm{5}^{\mathrm{23}} \centerdot\mathrm{2}^{\mathrm{23}} \centerdot\mathrm{2}^{\mathrm{1999}} −\mathrm{2023} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{1999}} .\mathrm{10}^{\mathrm{23}} −\mathrm{2023} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{1999}} \centerdot\mathrm{1}\underset{\mathrm{23}\:{zeros}} {\underbrace{\mathrm{00000}...\mathrm{0000}}}−\mathrm{2023} \\ $$$$\:\:\:=\:\:\:\:...{a}\underset{\mathrm{23}\:{zeroes}} {\underbrace{\mathrm{000}...\mathrm{00}}}\:−\mathrm{2023}\:\:\: \\ $$$${a},\:{the}\:\mathrm{24}{th}\:{digit}\:{from}\:{right},\:\:{is}\:{a} \\ $$$${non}-{zero}\:{digit} \\ $$$${We}\:{need}\:{borrow}\:{in}\:{order}\:{to}\:{subtract}\:\mathrm{2023} \\ $$$${After}\:{borrowing}: \\ $$$${Last}\:\mathrm{24}\:{digits}\:{will}\:{be}\:{changed}: \\ $$$$\overline {\left({a}−\mathrm{1}\right)\underbrace{\mathrm{99999}...\mathrm{9}\:\mathrm{9}\:\mathrm{9}}\:\left(\mathrm{10}\right)} \\ $$$$\underset{−} {\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}\:\mathrm{0}\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{Last}\:\mathrm{23}\:{numbers}} {\underbrace{\mathrm{9}\:\mathrm{9}\:\mathrm{9}...\mathrm{9}\:\mathrm{9}\:\mathrm{9}\:\mathrm{7}\:\mathrm{9}\:\mathrm{7}\:\mathrm{7}}} \\ $$$${Last}\:{ten}\:{digits}:\:\:\mathrm{9999997977} \\ $$
Commented by Shrinava last updated on 15/Jan/23
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{cool} \\ $$