Question Number 18667 by chernoaguero@gmail.com last updated on 27/Jul/17
$$\mathrm{If}\:{x}=\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −\:\mathrm{2}^{−\mathrm{1}/\mathrm{3}} ,\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{x}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 27/Jul/17
![2x^3 =2[2−3(2^(1/3) −2^(−1/3) )−(1/2)] =3−6x ⇒ 2x^3 +6x=3 .](Q18677.png)
$$\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{2}\left[\mathrm{2}−\mathrm{3}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{−\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}−\mathrm{6x} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6x}=\mathrm{3}\:. \\ $$
Answered by Arnab Maiti last updated on 27/Jul/17
![2x^3 +6x=2(2^(1/3) −2^(−(1/3)) )^3 +6(2^(1/3) −2^((−1)/3) ) =2×[2−3×2^(2/3) ×2^((−1)/3) +3×2^(1/3) ×2^((−2)/3) −2^(−1) ]+6(2^(1/3) −2^((−1)/3) ) =2×[{2−(1/2)}−3{2^(1/3) −2^((−1)/3) }]+6(2^(1/3) −2^((−1)/3) ) =2×{((4−1)/2)}−6×{2^(1/3) −2^((−1)/3) }+6×(2^(1/3) −2^((−1)/3) ) =3](Q18668.png)
$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{x}=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}\left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2}×\left[\mathrm{2}−\mathrm{3}×\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} ×\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +\mathrm{3}×\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ×\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} \right]+\mathrm{6}\left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2}×\left[\left\{\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\}−\mathrm{3}\left\{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right\}\right]+\mathrm{6}\left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2}×\left\{\frac{\mathrm{4}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\}−\mathrm{6}×\left\{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right\}+\mathrm{6}×\left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$$=\mathrm{3} \\ $$