Question Number 19123 by 433 last updated on 05/Aug/17
$$\begin{cases}{\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{3h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}}\\{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$
Answered by ajfour last updated on 05/Aug/17
![x(2x−2)f−(2x−2)g+(2x−2)h=(2x−2)(2x+1) f−(2x−2)g−3h=x subtracting: (2x^2 −2x−1)f+(2x+1)h=4x^2 −3x−2 using eqn. (3) in question: (2x^2 −2x−1)f+(2x+1)[((f ln x−1)/(x−3))] =4x^2 −3x−2 ⇒ f(2x^2 −2x−1+(((2x+1)ln x)/(x−3))) =4x^2 −3x−2+((2x+1)/(x−3)) ⇒ f [(2x^2 −2x−1)(x−3)+(2x+1)ln x] =(x−3)(4x^2 −3x−2)+(2x+1) f(x)=(((x−3)(4x^2 −3x−2)+2x+1)/((x−3)(2x^2 −2x−1)+(2x+1)ln x)) .](Q19129.png)
$$\mathrm{x}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{f}−\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{g}+\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{h}=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{f}−\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{g}−\mathrm{3h}=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{subtracting}: \\ $$$$\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{f}+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{h}=\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{using}\:\mathrm{eqn}.\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{question}: \\ $$$$\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{f}+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left[\frac{\mathrm{f}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}+\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{f}\:\left[\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{x}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{x}}\:. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Commented by 433 last updated on 05/Aug/17
$$\mathrm{Thanks}\:!!! \\ $$