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Question Number 19135 by gourav~ last updated on 05/Aug/17

solve for x: 2^(∣x+2∣) −∣2^(x+1) −1∣=2^(x+1) +1

$${solve}\:{for}\:{x}: \\ $$$$\mathrm{2}^{\mid{x}+\mathrm{2}\mid} −\mid\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\mid=\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$

Answered by ajfour last updated on 05/Aug/17

x+2≥0 ⇒ x≥−2 2^(x+1) −1 ≥0 ⇒ x≥−1 Let x<−2 ⇒ 2^(−x−2) +2^(x+1) −1=2^(x+1) +1 or 2^(−x−2) =2 ⇒ −x−2=1 x=−3 Let −2≤ x ≤−1 ⇒ 2^(x+2) +2^(x+1) −1=2^(x+1) +1 ⇒ 2^(x+2) =2 ⇒ x+2=1 or x=−1 Let −1< x ⇒ 2^(x+2) −2^(x+1) +1=2^(x+1) +1 ⇒ 2^(x+2) =2(2^(x+1) ) True for all x >−1 ⇒ x∈[−1, ∞) ∪ {−3} .

$$\mathrm{x}+\mathrm{2}\geqslant\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:\geqslant\mathrm{0}\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}<−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{−\mathrm{x}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{or}\:\:\:\mathrm{2}^{−\mathrm{x}−\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:−\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Let}\:−\mathrm{2}\leqslant\:\mathrm{x}\:\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{or}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Let}\:−\mathrm{1}<\:\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{True}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\:\:\mathrm{x}\:>−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{x}\in\left[−\mathrm{1},\:\infty\right)\:\cup\:\left\{−\mathrm{3}\right\}\:. \\ $$

Commented by gourav~ last updated on 06/Aug/17

thank you sir

$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$

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