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Question Number 192590 by York12 last updated on 22/May/23

$$$$$$\underset{n=1}{\sum ^{\mathrm{\infty }}}\underset{m=1}{\sum ^{\mathrm{\infty }}}\left[\frac{m^{2}n}{3^m(3^n.m+3^m.n)}\right]=\lambda$$$$find\lambda .$$$$$$

Answered by witcher3 last updated on 24/May/23

$$(\mathrm{n},\mathrm{m})\stackrel{\mathrm{f}}{\to }\frac{{\mathrm{m}}^2\mathrm{n}}{3^{\mathrm{m}}(3^{\mathrm{n}}\mathrm{m}+3^{\mathrm{m}}\mathrm{n})}$$$$\mathrm{\forall }\mathrm{n}\in {\mathbb{Z}}_{+},\sum _{\mathrm{m}⩾1}\mathrm{f}(\mathrm{n},\mathrm{m})=\mathrm{n}\sum _{\mathrm{m}⩾1}\frac{{\mathrm{m}}^2}{3^{\mathrm{m}}(3^{\mathrm{n}}\mathrm{m}+3^{\mathrm{m}}\mathrm{n})}$$$$⩽\mathrm{n}\sum _{\mathrm{m}⩾1}\frac{{\mathrm{m}}^2}{3^{\mathrm{m}}}=\mathrm{S}$$$$\mathrm{\exists }\mathrm{N}\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }\mathrm{m}⩾\mathrm{N},{\mathrm{m}}^2⩽2^{\mathrm{m}}$$$$\mathrm{S}⩽\underset{\mathrm{m}=1}{\sum ^{\mathrm{N}-1}}\mathrm{n}\frac{{\mathrm{m}}^2}{3^{\mathrm{m}}}+\mathrm{n}\sum _{\mathrm{N}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{m}}<\mathrm{\infty }$$$$\mathrm{\forall }\mathrm{m}\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{f}(\mathrm{n},\mathrm{m})=\frac{{\mathrm{m}}^2}{3^{\mathrm{m}}}\mathrm{\Sigma }\frac{\mathrm{n}}{(3^{\mathrm{n}}\mathrm{m}+3^{\mathrm{m}}\mathrm{n})}⩽\frac{{\mathrm{m}}^2}{3^{\mathrm{m}}}\mathrm{\Sigma }\frac{\mathrm{n}}{3^{\mathrm{n}}}$$$$\mathrm{Sam}\mathrm{as}\mathrm{previous}<\mathrm{\infty }$$$$\Rightarrow \sum _{\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{m}}=\sum _{\mathrm{m}}\sum _{\mathrm{n}}$$$$\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Sigma }\mathrm{f}(\mathrm{n},\mathrm{m})=\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Sigma }\mathrm{f}(\mathrm{m},\mathrm{n})=\mathrm{S}$$$$2\mathrm{S}=\sum _{\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{m}}\frac{{\mathrm{m}}^2\mathrm{n}}{3^{\mathrm{m}}({\mathrm{n}3}^{\mathrm{m}}+m{3}^n)}+\frac{n^{2}m}{3^n(n{3}^m+m{3}^n)}$$$$=\sum _{\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{mn}({\mathrm{m}3}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{n}3}^{\mathrm{m}})}{3^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}({\mathrm{n}3}^{\mathrm{m}}+{\mathrm{m}3}^{\mathrm{n}})}=\sum _{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{n}}{3^{\mathrm{n}}}\mathrm{\Sigma }\frac{\mathrm{m}}{3^{\mathrm{m}}}$$$$\frac{1}{{(1-\mathrm{x})}^2}=\sum _{\mathrm{n}⩾1}{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}-1}\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{{(1-\mathrm{x})}^2}=\mathrm{\Sigma }{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}}$$$$\mathrm{S}={\left(\frac{\frac{1}{3}}{{(1-\frac{1}{3})}^2}\right)}^2=\frac{9}{16}$$

Commented by York12 last updated on 24/May/23

$$Great!$$$$whatbookdoyourecommendforalgebra$$

Commented by witcher3 last updated on 24/May/23

$$\mathrm{hello}\mathrm{sir}\mathrm{sorry}\mathrm{for}\mathrm{last}\mathrm{times}$$$$\mathrm{not}\mathrm{responding}\mathrm{i}\mathrm{have}\mathrm{not}\mathrm{telegram}$$$$\mathrm{book}1\mathrm{introduce}\mathrm{to}\mathrm{matrix}\mathrm{and}\mathrm{linear}\mathrm{algebra}$$$$2)\mathrm{for}\mathrm{calculus}$$$$\mathrm{almost}\mathrm{Impossible}\mathrm{sum}\mathrm{and}\mathrm{integrals}$$$$\mathrm{contein}\mathrm{hards}\mathrm{problems}!$$$$$$

Commented by York12 last updated on 24/May/23

$$thankssomuch,Noproblem$$

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