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Question Number 193247 by mokys last updated on 08/Jun/23

$$iff\left(x\right)=\frac{ax+1}{x+b}find{f}^{100}\left(x\right)and{f}^{101}\left(x\right)?$$

Answered by aba last updated on 08/Jun/23

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ax}+1}{\mathrm{x}+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}}$$$${\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}o\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}(\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}})=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}$$$${\mathrm{f}}^3\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{f}}^{2}o\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{f}}^2(\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}})=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{f}(\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}})+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}$$$${\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}-1}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}},\mathrm{\forall }\mathrm{k}⩾2$$$$\Downarrow$$$${\mathrm{f}}^{100}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^{99}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}$$$${\mathrm{f}}^{101}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^{100}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}$$

Answered by aba last updated on 09/Jun/23

$${\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}-1}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}},\mathrm{\forall }\mathrm{k}⩾2$$$$\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{k}=2.\mathrm{then}\mathrm{assume}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{k}\mathrm{and}\mathrm{prove}\mathrm{that}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{k}+1$$$${\mathrm{f}}^{\mathrm{k}+1}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}o\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}-1}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}$$$$\mathrm{\forall }\mathrm{k}⩾2,{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{1-\mathrm{ab}}{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}-1}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}$$

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