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Question Number 19403 by Tinkutara last updated on 10/Aug/17

Let P(n) = (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 9). What is the largest integer that is a divisor of P(n) for all positive even integers n?

$$\mathrm{Let}\:{P}\left({n}\right)\:=\:\left({n}\:+\:\mathrm{1}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{3}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{5}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{7}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{9}\right). \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{largest}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{divisor}\:\mathrm{of}\:{P}\left({n}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{even} \\ $$$$\mathrm{integers}\:{n}? \\ $$

Commented by RasheedSindhi last updated on 12/Aug/17

15

$$\mathrm{15} \\ $$

Answered by RasheedSindhi last updated on 12/Aug/17

P(n)=(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9) n∈E^+ ;Let n=2m,m∈N P(2m)=(2m+1)(2m+3)(2m+5)(2m+7)(2m+9) m=3k∣m=3k+1∣m=3k+2 C-0 : m=3k⇒ P(n)=P(2m)=P(2.3k) =(6k+1)(6k+3)(6k+5)(6k+7)(6k+9) =3(6k+1)(2k+1)(6k+5)(6k+7)(6k+9) C-1 : m=3k+1⇒ P(n)=(6k+3)(6k+5)(6k+7)(6k+9)(6k+11) =9(2k+1)(6k+5)(6k+7)(2k+3)(6k+11) C-2 : m=3k+2⇒ P(n)=(6k+5)(6k+7)(6k+9)(6k+11)(6k+13) =3(6k+5)(6k+7)(2k+3)(6k+11)(6k+13) In all the three cases: 3 ∣ P(n) Similarly we can prove that 5 ∣ P(n) Also can be verified from P(10) that 3 and 5 can divide P(n) once only. P(10)=11.13.15.17.19 =11.13.3.5.17.19 From the following it is proved that there isn′t any divisor of P(n) other than 3 & 5 P(2)=3.5.7.9.11 P(10)=11.13.15.17.19 P(12)=13.15.17.19.21 Hence the largest divisor is 3×5=15

$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\mathrm{n}\in\mathbb{E}^{+} ;\mathrm{Let}\:\mathrm{n}=\mathrm{2m},\mathrm{m}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{2m}\right)=\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{3k}\mid\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{1}\mid\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{C}-\mathrm{0}\::\:\mathrm{m}=\mathrm{3k}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{2m}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{2}.\mathrm{3k}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{6k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{6k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\mathrm{C}-\mathrm{1}\::\:\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{6k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:=\mathrm{9}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right) \\ $$$$\mathrm{C}-\mathrm{2}\::\:\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{2}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{13}\right) \\ $$$$\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{13}\right) \\ $$$$\:\mathrm{In}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{three}\:\mathrm{cases}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\mid\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{Similarly}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}\:\mid\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{Also}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{verified}\:\mathrm{from}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{10}\right) \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{5}\:\mathrm{can}\:\mathrm{divide}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)\:\mathrm{once}\:\mathrm{only}. \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{10}\right)=\mathrm{11}.\mathrm{13}.\mathrm{15}.\mathrm{17}.\mathrm{19} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{11}.\mathrm{13}.\mathrm{3}.\mathrm{5}.\mathrm{17}.\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{proved} \\ $$$$\mathrm{that}\:\:\mathrm{there}\:\mathrm{isn}'\mathrm{t}\:\mathrm{any}\:\mathrm{divisor}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{other}\:\mathrm{than}\:\mathrm{3}\:\&\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{3}.\mathrm{5}.\mathrm{7}.\mathrm{9}.\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{10}\right)=\mathrm{11}.\mathrm{13}.\mathrm{15}.\mathrm{17}.\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{12}\right)=\mathrm{13}.\mathrm{15}.\mathrm{17}.\mathrm{19}.\mathrm{21} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{largest}\:\mathrm{divisor}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{3}×\mathrm{5}=\mathrm{15} \\ $$

Commented by Tinkutara last updated on 12/Aug/17

Thank you very much Sir!

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

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