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Question Number 19516 by Tinkutara last updated on 12/Aug/17

$$\mathrm{Let}\mathrm{Akbar}\mathrm{and}\mathrm{Birbal}\mathrm{together}\mathrm{have}n$$ $$\mathrm{marbles},\mathrm{where}n>0.$$ $$\mathrm{Akbar}\mathrm{says}\mathrm{to}\mathrm{Birbal},\mathrm{♮}\mathrm{If}\mathrm{I}\mathrm{give}\mathrm{you}\mathrm{some}$$ $$\mathrm{marbles}\mathrm{then}\mathrm{you}\mathrm{will}\mathrm{have}\mathrm{twice}\mathrm{as}$$ $$\mathrm{many}\mathrm{marbles}\mathrm{as}\mathrm{I}\mathrm{will}\mathrm{have}.\epsilon \mathrm{Birbal}$$ $$\mathrm{says}\mathrm{to}\mathrm{Akbar},\mathrm{♮}\mathrm{If}\mathrm{I}\mathrm{give}\mathrm{you}\mathrm{some}$$ $$\mathrm{marbles}\mathrm{then}\mathrm{you}\mathrm{will}\mathrm{have}\mathrm{thrice}\mathrm{as}$$ $$\mathrm{many}\mathrm{marbles}\mathrm{as}\mathrm{I}\mathrm{will}\mathrm{have}.\epsilon$$ $$\mathrm{What}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{minimum}\mathrm{possible}\mathrm{value}\mathrm{of}$$ $$n\mathrm{for}\mathrm{which}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{statements}\mathrm{are}$$ $$\mathrm{true}?$$

Answered by dioph last updated on 12/Aug/17

$$\mathrm{As}n\in \mathbb{N},\mathrm{if}\mathrm{there}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{possibility}$$ $$\mathrm{B}=2x_1\mathrm{and}\mathrm{A}=x_1\Rightarrow n=3x_1.$$ $$\mathrm{Similarly},\mathrm{when}A=3x_2\mathrm{and}B=x_2$$ $$\Rightarrow n=4x_2.\mathrm{Hence}3\mid n\mathrm{and}4\mid n$$ $$\Rightarrow n⩾12.\mathrm{If}n=12,4<A<9,$$ $$\mathrm{and}B=12-A,\mathrm{then}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{a}\mathrm{solution}$$ $$\mathrm{where}A\mathrm{can}\mathrm{give}\mathrm{marbles}\mathrm{so}\mathrm{that}A=4$$ $$\mathrm{and}B=8,\mathrm{and}B\mathrm{can}\mathrm{give}\mathrm{marbles}$$ $$\mathrm{so}\mathrm{that}A=9\mathrm{and}B=3.$$

Commented byTinkutara last updated on 12/Aug/17

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}\mathrm{Sir}!$$

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