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Question Number 195393 by Erico last updated on 01/Aug/23

$$\mathrm{prove}\mathrm{that}$$$$\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\sqrt[\mathit{x}]{\frac{\underset{k=1}{\sum ^n}{(1-\frac{1}{2k})}^x}{n}}=\frac{1}{4}\sqrt[\mathit{n}]{{\mathrm{C}}_{2\mathbf{n}}^{\mathbf{n}}}$$

Answered by witcher3 last updated on 01/Aug/23

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{t}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{xln}\left(\mathrm{t}\right)}=1+\mathrm{xln}\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{x}\to 0$$$$\underset{\mathrm{k}=1}{\sum ^{\mathrm{n}}}{(1-\frac{1}{2\mathrm{k}})}^{\mathrm{x}}=\mathrm{\Sigma }(1+\mathrm{xln}(1-\frac{1}{2\mathrm{k}})+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right))$$$$=\mathrm{n}+\mathrm{xln}\left(\underset{\mathrm{k}=1}{\prod ^{\mathrm{n}}}\left(\frac{2\mathrm{k}-1}{2\mathrm{k}}\right)\right)+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right)$$$$=\mathrm{n}+\mathrm{xln}\left(\underset{\mathrm{k}=1}{\prod ^{\mathrm{n}}}\frac{\left(2\mathrm{k}\right)(2\mathrm{k}-1)}{{4\mathrm{k}}^2}\right)+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right)$$$$=\mathrm{n}+\mathrm{xln}\left(\frac{\left(2\mathrm{n}\right)!}{4^{\mathrm{n}}{(\mathrm{n}!)}^2}\right)+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{n}+\mathrm{xln}\left(\frac{1}{4^{\mathrm{n}}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right)$$$$\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[\mathrm{x}]{\frac{1}{\mathrm{n}}\underset{\mathrm{k}=1}{\sum ^{\mathrm{n}}}{(1-\frac{1}{2\mathrm{k}})}^{\mathrm{x}}}={\underset{x\to 0}{\lim e}}^{\frac{1}{\mathrm{x}}\ln (\frac{1}{\mathrm{n}}(\mathrm{n}+\mathrm{xln}\left(\frac{1}{4^{\mathrm{n}}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right))}$$$$={\underset{x\to 0}{\lim e}}^{\frac{\ln (1+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\ln \left(\frac{1}{4^{\mathrm{n}}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{o}\left(1\right))}{\mathrm{x}}}={\mathrm{e}}^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\ln \left(\frac{{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}}{4^{\mathrm{n}}}\right)+\mathrm{o}\left(1\right))}{\mathrm{x}}}$$$$\ll \exp \mathrm{is}\mathrm{continus}\gg$$$$={\mathrm{e}}^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\ln \left(\frac{{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}}{4^{\mathrm{n}}}\right)+\mathrm{o}\left(1\right)}{\mathrm{x}}}={\mathrm{e}}^{\ln \left(\sqrt[\mathrm{n}]{\frac{{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}}{4^{\mathrm{n}}}}\right)}=\sqrt[\mathrm{n}]{\frac{{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}}{4^{\mathrm{n}}}}$$$$\frac{1}{4}\sqrt[\mathrm{n}]{{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}}$$

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