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Question Number 19666 by Joel577 last updated on 14/Aug/17

∫ x^4 (√(x^2 + 1)) dx

$$\int\:{x}^{\mathrm{4}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$

Answered by ajfour last updated on 14/Aug/17

I=(1/2)∫x^3 (2x(√(1+x^2 )) )dx =((2x^3 )/3)(1+x^2 )^(3/2) −(I_1 /2)+C_0 ....(i) I_1 =∫(3x^2 )((2/3))(1+x^2 )^(3/2) dx let 1+x^2 =t^2 ⇒ xdx=dt dx=(dt/(√(t^2 −1))) I_1 =2∫(t^2 −1)(t^3 )(dt/(√(t^2 −1))) =2∫t^3 (√(t^2 −1)) dt =∫t^2 (2t(√(t^2 −1)) )dt =((2t^2 )/3)(t^2 −1)^(3/2) −(2/3)∫(2t)(t^2 −1)^(3/2) +C_1 =((2t^2 )/3)(t^2 −1)^(3/2) −(2/3)×(2/5)(t^2 −1)^(5/2) +C_1 +C_2 =(2/3)(x^2 +1)x^3 −(4/(15))x^5 +C_1 +C_2 ..(ii) so from (i) and (ii): I=((2x^3 )/3)(1+x^2 )^(3/2) −(x^3 /3)(1+x^2 )+((2x^5 )/(15))+C .

$$\:\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \:\:\:\:\:....\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\mathrm{I}_{\mathrm{1}} =\int\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\:\Rightarrow\:\:\:\mathrm{xdx}=\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dt}}{\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\:\mathrm{I}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\int\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \right)\frac{\mathrm{dt}}{\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\int\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\int\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2t}\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\left(\mathrm{2t}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}/\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{15}}\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\:\:..\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{15}}+\mathrm{C}\:. \\ $$

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