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Question Number 19696 by Tinkutara last updated on 14/Aug/17

$$\mathrm{Let}m\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{smallest}\mathrm{odd}\mathrm{positive}$$$$\mathrm{integer}\mathrm{for}\mathrm{which}1+2+...+m\mathrm{is}\mathrm{a}$$$$\mathrm{square}\mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{integer}\mathrm{and}\mathrm{let}n\mathrm{be}\mathrm{the}$$$$\mathrm{smallest}\mathrm{even}\mathrm{positive}\mathrm{integer}\mathrm{for}$$$$\mathrm{which}1+2+...+n\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{square}\mathrm{of}\mathrm{an}$$$$\mathrm{integer}.\mathrm{What}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}m+n?$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Aug/17

$$\mathrm{Case}-1:\mathrm{m}\in \mathbb{O}$$$$1+2+...\mathrm{m}=\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}+1)}{2}$$$$\mathrm{Let}\mathrm{m}=2\mathrm{k}+1$$$$\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}+1)}{2}=\frac{(2\mathrm{k}+1)(2\mathrm{k}+2)}{2}={\mathrm{a}}^2\left(say\right)$$$$\frac{{4\mathrm{k}}^2+4\mathrm{k}+2\mathrm{k}+2}{2}={\mathrm{a}}^2$$$${2\mathrm{k}}^2+3\mathrm{k}+1-{\mathrm{a}}^2$$$$\mathrm{k}=\frac{-3\pm \sqrt{9-4\left(2\right)(1-{\mathrm{a}}^2)}}{4}$$$$\mathrm{k}=\frac{-3\pm \sqrt{1+{8\mathrm{a}}^2)}}{4}$$$$\mathrm{a}=1\Rightarrow \mathrm{k}=\frac{-3\pm 3}{2}=0,-3$$$$\mathrm{k}=0\Rightarrow \mathrm{m}=2\mathrm{k}+1=1$$$$\mathrm{m}=1$$$$\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{smallest}\mathrm{positive}$$$$\mathrm{integer}\mathrm{for}\mathrm{which}1+2+...+\mathrm{m}$$$$\mathrm{is}\mathrm{perfect}\mathrm{square}.$$$$\mathrm{k}=-3\Rightarrow \mathrm{m}=2(-3)+1=-5(-\mathrm{ve})$$$$\mathrm{So}-5\mathrm{is}\mathrm{discardable}.$$$$\mathrm{a}=6\Rightarrow \sqrt{1+8{\left(6\right)}^2}=17$$$$\mathrm{k}=\frac{-3\pm 17}{4}=\frac{7}{2},-5$$$$\mathrm{Both}\mathrm{are}\mathrm{discardable}.$$$$\mathrm{Case}-2:\mathrm{n}\in \mathbb{E}$$$$1+2+...+\mathrm{n}={\mathrm{b}}^2$$$$\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}={\mathrm{b}}^2$$$$\mathrm{Let}\mathrm{n}=2\mathrm{k}$$$$\frac{2\mathrm{k}(2\mathrm{k}+1)}{2}={\mathrm{b}}^2$$$${2\mathrm{k}}^2+\mathrm{k}-{\mathrm{b}}^2=0$$$$\mathrm{k}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4\left(2\right)(-{\mathrm{b}}^2)}}{4}$$$$\mathrm{k}=\frac{-1\pm \sqrt{1+{8\mathrm{b}}^2}}{4}$$$$\mathrm{b}=1\Rightarrow \mathrm{k}=\frac{-1\pm 3}{4}=-1,\frac{1}{2}$$$$\mathrm{Both}\mathrm{are}\mathrm{discardable}.$$$$\mathrm{b}=6\Rightarrow \mathrm{k}=\frac{-1\pm 17}{4}=-\frac{9}{2},4$$$$-\frac{9}{2}\mathrm{is}\mathrm{discardable}.$$$$\mathrm{k}=4\Rightarrow \mathrm{n}=8$$$$1+2+...+8=\frac{8\times 9}{2}=36$$$$\mathrm{n}=8$$$$\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{smallest}\mathrm{positive}$$$$\mathrm{integer}\mathrm{for}\mathrm{which}1+2+...+\mathrm{n}$$$$\mathrm{is}\mathrm{perfect}\mathrm{square}.$$$$$$

Commented by Tinkutara last updated on 15/Aug/17

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}\mathrm{Sir}!$$

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