Question Number 19812 by Joel577 last updated on 16/Aug/17
$$\mathrm{If}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{line}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equation}\:{y}\:=\:\frac{{x}}{\mathrm{3}\:−\:{x}}\:\mathrm{at}\: \\ $$$${x}\:=\:{a}\:\mathrm{crossed}\:\mathrm{line}\:{y}\:=\:{x}\:\mathrm{at}\:\left({b},{b}\right) \\ $$$$\mathrm{Find}\:{b}\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:{a} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 16/Aug/17
![y=−1−(3/(x−3)) ⇒ (dy/dx)=(3/((x−3)^2 )) (dy/dx)∣_(x=a) =(3/((a−3)^2 )) Equation of tangent at x=a is y−y_1 =((dy/dx))∣_(x=a) (x−a) y_1 =(a/(3−a)) , so y−((a/(3−a)))=(3/((a−3)^2 ))(x−a) this tangent crosses y=x at (b,b) so (b,b) must satisfy tangent eqn. b−(a/((3−a))) =((3(b−a))/((a−3)^2 )) ((3b)/((a−3)^2 ))−b=((3a)/((a−3)^2 ))+(a/((a−3))) at x=a=3 there is no function and no tangent, so b[3−(a−3)^2 ]=a(3+a−3) ⇒ b=(a^2 /(3−(a−3)^2 )) .](Q19820.png)
$$\mathrm{y}=−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mid_{\mathrm{x}=\mathrm{a}} =\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{Equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}=\mathrm{a}\:\mathrm{is} \\ $$$$\:\:\mathrm{y}−\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)\mid_{\mathrm{x}=\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{3}−\mathrm{a}}\:\:,\:\:\mathrm{so} \\ $$$$\:\mathrm{y}−\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{3}−\mathrm{a}}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{crosses}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}\:\mathrm{at}\:\left(\mathrm{b},\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{so}\:\:\left(\mathrm{b},\mathrm{b}\right)\:\mathrm{must}\:\mathrm{satisfy}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{eqn}. \\ $$$$\:\mathrm{b}−\frac{\mathrm{a}}{\left(\mathrm{3}−\mathrm{a}\right)}\:=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{3b}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{b}=\frac{\mathrm{3a}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{a}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\:\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}=\mathrm{a}=\mathrm{3}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{no}\:\mathrm{function}\:\mathrm{and} \\ $$$$\:\mathrm{no}\:\mathrm{tangent},\:\mathrm{so} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{b}\left[\mathrm{3}−\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \right]=\mathrm{a}\left(\mathrm{3}+\mathrm{a}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{b}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}−\left(\mathrm{a}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:. \\ $$