Question Number 19900 by Tinkutara last updated on 17/Aug/17
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{identity}\:\mathrm{in}\:{x}: \\ $$$$\frac{\left({x}−{a}\right)\left({x}−{b}\right)}{\left({c}−{a}\right)\left({c}−{b}\right)}+\frac{\left({x}−{b}\right)\left({x}−{c}\right)}{\left({a}−{b}\right)\left({a}−{c}\right)}+\frac{\left({x}−{c}\right)\left({x}−{a}\right)}{\left({b}−{c}\right)\left({b}−{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Aug/17
![−(((x−a)(x−b))/((c−a)(b−c)))−(((x−b)(x−c))/((a−b)(c−a)))−(((x−c)(x−a))/((b−c)(a−b)))=1 ((−(a−b)(x−a)(x−b)−(b−c)(x−b)(x−c)−(c−a)(x−c)(x−a))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −(((a−b)(x^2 −(a+b)x+ab)+(b−c)(x^2 −(b+c)x+bc)+(c−a)(x^2 −(c+a)x+ca))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −(([(a−b)+(b−c)+(c−a)]x^2 −[(a^2 −b^2 )+(b^2 −c^2 )+(c^2 −a^2 )]x+ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −((0x^2 −0x+ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −((ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −((a^2 b−ab^2 +b^2 c−bc^2 +c^2 a−ca^2 )/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −((a^2 b−ab^2 +b^2 c−ca^2 −bc^2 +c^2 a)/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −((ab(a−b)−c(a^2 −b^2 )+c^2 (a−b))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −(((a−b)[ab−c(a+b)+c^2 ])/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −(((a−b)[c^2 −ca−cb+ab])/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −(((a−b)[c(c−a)−b(c−a)])/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −(((a−b)[c(c−a)−b(c−a)])/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 −(((a−b)(c−b)(c−a))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 (((a−b)(b−c)(c−a))/((a−b)(b−c)(c−a)))=1 1=1 Free of x. I.e the equation is true for all values of x. That means the given equation is an identity in x.](Q19902.png)
$$−\frac{\left({x}−{a}\right)\left({x}−{b}\right)}{\left({c}−{a}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)}−\frac{\left({x}−{b}\right)\left({x}−{c}\right)}{\left({a}−{b}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}−\frac{\left({x}−{c}\right)\left({x}−{a}\right)}{\left({b}−{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{−\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left({x}−{a}\right)\left({x}−{b}\right)−\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left({x}−{b}\right)\left({x}−{c}\right)−\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\left({x}−{c}\right)\left({x}−{a}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}+\mathrm{ab}\right)+\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\left({b}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}+\mathrm{bc}\right)+\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\left({c}+\mathrm{a}\right)\mathrm{x}+\mathrm{ca}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\left[\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\right]\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left[\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\right]\mathrm{x}+\mathrm{ab}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)+\mathrm{bc}\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)+\mathrm{ca}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\mathrm{0x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{0x}+\mathrm{ab}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)+\mathrm{bc}\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)+\mathrm{ca}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\mathrm{ab}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)+\mathrm{bc}\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)+\mathrm{ca}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}−\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}−\mathrm{bc}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}−\mathrm{ca}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}−\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}−\mathrm{ca}^{\mathrm{2}} −\mathrm{bc}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\mathrm{ab}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)−\mathrm{c}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{ab}−\mathrm{c}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right]}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ca}−\mathrm{cb}+\mathrm{ab}\right]}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{c}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)−\mathrm{b}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\right]}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{c}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)−\mathrm{b}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\right]}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$−\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Free}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}.\: \\ $$$$\mathrm{I}.\mathrm{e}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all} \\ $$$$\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}. \\ $$$$\mathrm{That}\:\mathrm{means}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{identity}\:\mathrm{in}\:\mathrm{x}. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 17/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$
Answered by ajfour last updated on 17/Aug/17
![T_1 +T_2 =(((b−a)(x−a)(x−b)+(c−b)(x−b)(x−c))/((a−b)(b−c)(c−a))) =(((x−b)[x(c−a)−ab+a^2 +bc−c^2 ])/((a−b)(b−c)(c−a))) =(((x−b)[x(c−a)+b(c−a)−(c+a)(c−a)])/((a−b)(b−c)(c−a))) =(((x−b)(x+b−a−c))/((a−b)(b−c))) =(([x^2 −(a+c)x+ac]+[−b^2 +ab+bc−ac])/((a−b)(b−c))) =(((x−c)(x−a))/((a−b)(b−c)))+(((a−b)(b−c))/((a−b)(b−c))) T_1 +T_2 =−T_3 +1 or T_1 +T_2 +T_3 =1 (T_i being the i^(th) term on l.h.s. ) .](Q19908.png)
$${T}_{\mathrm{1}} +{T}_{\mathrm{2}} =\frac{\left({b}−{a}\right)\left({x}−{a}\right)\left({x}−{b}\right)+\left({c}−{b}\right)\left({x}−{b}\right)\left({x}−{c}\right)}{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)\left({c}−{a}\right)} \\ $$$$=\frac{\left({x}−{b}\right)\left[{x}\left({c}−{a}\right)−{ab}+{a}^{\mathrm{2}} +{bc}−{c}^{\mathrm{2}} \right]}{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)\left({c}−{a}\right)} \\ $$$$=\frac{\left({x}−{b}\right)\left[{x}\left({c}−{a}\right)+{b}\left({c}−{a}\right)−\left({c}+{a}\right)\left({c}−{a}\right)\right]}{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)\left({c}−{a}\right)} \\ $$$$=\frac{\left({x}−{b}\right)\left({x}+{b}−{a}−{c}\right)}{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)} \\ $$$$=\frac{\left[{x}^{\mathrm{2}} −\left({a}+{c}\right){x}+{ac}\right]+\left[−{b}^{\mathrm{2}} +{ab}+{bc}−{ac}\right]}{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)} \\ $$$$=\frac{\left({x}−{c}\right)\left({x}−{a}\right)}{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)}+\frac{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)}{\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} +{T}_{\mathrm{2}} =−{T}_{\mathrm{3}} +\mathrm{1} \\ $$$${or}\:\:\:\:\:{T}_{\mathrm{1}} +{T}_{\mathrm{2}} +{T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{1} \\ $$$$\:\left({T}_{{i}} \:\:{being}\:{the}\:{i}^{{th}} \:{term}\:{on}\:{l}.{h}.{s}.\:\right)\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 17/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{This} \\ $$$$\mathrm{reduced}\:\mathrm{calculation}\:\mathrm{to}\:\mathrm{an}\:\mathrm{extent}. \\ $$