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Question Number 204337 by SANOGO last updated on 13/Feb/24

Answered by witcher3 last updated on 13/Feb/24

$$\left(3\right)\Rightarrow \left(2\right)$$$$\mathrm{soitU}\mathrm{un}\mathrm{ouvert}\mathrm{de}\mathrm{E}$$$$\mathrm{\exists }\mathrm{existe}\mathrm{V}\mathrm{un}\mathrm{ouvert}\mathrm{de}\mathrm{F}$$$$\mathrm{t}\mathrm{elle}\mathrm{Que}\mathrm{U}={\mathrm{f}}^{-}\left(\mathrm{V}\right);\mathrm{car}\mathrm{f}\mathrm{et}\mathrm{bijective}\mathrm{donc}{\mathrm{f}}^{-}$$$${\mathrm{f}}^{-}\left(\mathrm{V}\right)\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{ouvet}\mathrm{car}\mathrm{f}\mathrm{est}\mathrm{continue}$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{U}\right)={\mathrm{fof}}^{-}\left(\mathrm{V}\right)==\mathrm{id}\left(\mathrm{V}\right)=\mathrm{V}\mathrm{qui}\mathrm{est}\mathrm{ouvett}$$$$\left(2\right)\Rightarrow \left(1\right)$$$$\mathrm{soit}\mathrm{U}\mathrm{un}\mathrm{ouvert}\mathrm{de}\mathrm{E};\mathrm{f}\left(\mathrm{U}\right)\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{ouvert}\mathrm{de}\mathrm{F}?$$$$\mathrm{U}=\mathrm{E}-\stackrel{-}{\mathrm{U}}\mathrm{f}(\mathrm{E}-\stackrel{-}{\mathrm{U}})=\mathrm{F}-\mathrm{f}\left(\stackrel{-}{\mathrm{U}}\right)$$$$\mathrm{f}\left(\stackrel{-}{\mathrm{U}}\right)\mathrm{est}\mathrm{ferme}\mathrm{d}\mathrm{apres}\left(2\right)$$$$\mathrm{E}-\mathrm{f}\left(\stackrel{-}{\mathrm{u}}\right)\mathrm{est}\mathrm{ouvert}\mathrm{comme}\mathrm{coplementaire}\mathrm{d}\mathrm{un}\mathrm{fermee}$$$$\left(1\right)\Rightarrow \left(3\right)$$$$\mathrm{deja}\mathrm{f}\mathrm{est}\mathrm{bijective}\mathrm{continue}\mathrm{suffi}\mathrm{de}\mathrm{Montrer}{\mathrm{f}}^{-}\mathrm{est}\mathrm{contine}$$$${\mathrm{f}}^{-}\mathrm{F}\to \mathrm{E}$$$$\mathrm{soit}\mathrm{U}\mathrm{un}\mathrm{ouvert}\mathrm{de}\mathrm{F}$$$$\mathrm{comme}\mathrm{f}\mathrm{est}\mathrm{une}\mathrm{bijectiom}\mathrm{ouverte}\mathrm{\exists }{\mathrm{U}}^{\prime }\mathrm{ouvert}\mathrm{dans}\mathrm{E}$$$$\mathrm{U}=\mathrm{f}\left({\mathrm{U}}^{\prime }\right)$$$${\mathrm{f}}^{-}\left(\mathrm{U}\right)={\mathrm{f}}^{-}\mathrm{of}\left({\mathrm{U}}^{\prime }\right)=\mathrm{U}{}^{{}^{\prime }}\mathrm{qui}\mathrm{est}\mathrm{bien}\mathrm{un}\mathrm{ouvert}$$$$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{-}\mathrm{est}\mathrm{continue}\Rightarrow \mathrm{f}\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{homeomorphisme}$$$$\left(3\right)\Rightarrow \left(2\right)\Rightarrow \left(1\right)\Rightarrow 3$$$$\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{donc}\iff$$

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