Question Number 20434 by pp75718276@gmail.com last updated on 26/Aug/17
$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{tan}\:{y},\:\mathrm{cos}\:{y}=\mathrm{tan}\:{z},\:\mathrm{cos}\:{z}=\mathrm{tan}\:{x}, \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{sin}\:{x}\:\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 27/Aug/17
$$\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {z}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {z}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {y}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {y}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}} \\ $$$${let}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}={t} \\ $$$${then}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−{t}}=\frac{\mathrm{1}−{t}}{{t}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\frac{\mathrm{3}−{t}}{\mathrm{2}−{t}}\:=\:\frac{\mathrm{1}−{t}}{{t}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{3}{t}−{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}+{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{t} \\ $$$$\:\:\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{t}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{2}\left({t}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{x}\:=\:\pm\sqrt{\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:}\:. \\ $$
Commented by myintkhaing last updated on 27/Aug/17
$$\mathrm{Check}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 27/Aug/17
![cos^2 x = tan^2 y = sec^2 y − 1 = cot^2 z − 1 1+cos^2 x=cot^2 z=((cos^2 z)/(1−cos^2 z))=((tan^2 x)/(1−tan^2 x)) 2−sin^2 x=((sin^2 x)/(cos^2 x−sin^2 x))=((sin^2 x)/(1−2sin^2 x)) (2−sin^2 x)(1−2sin^2 x)=sin^2 x sin^4 x−3sin^2 x+1=0 sin^2 x=((3±(√5))/2) But sin^2 x≤1 as sin x∈[−1,1] So sin^2 x∈[0,1] sin^2 x=(1/2)(3−(√5))=(1/2)[(1/2)(1+5−2(√5))] sin^2 x=((((√5)−1)/2))^2 ⇒∣sin x∣=(((√5)−1)/2) Similarly, ∣sin y∣=∣sin z∣=(((√5)−1)/2)](Q20508.png)
$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:=\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{y}\:=\:\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \:{y}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \:{z}\:−\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}=\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \:{z}=\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{z}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{z}}=\frac{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}} \\ $$$$\mathrm{2}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}=\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}}=\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \:{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:{x}−\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${But}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\leqslant\mathrm{1}\:{as}\:\mathrm{sin}\:{x}\in\left[−\mathrm{1},\mathrm{1}\right] \\ $$$${So}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\right] \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}=\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mid\mathrm{sin}\:{x}\mid=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${Similarly},\:\mid\mathrm{sin}\:{y}\mid=\mid\mathrm{sin}\:{z}\mid=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$