soit f: R^3 →R^3 f(x,y,z)=(x+y,2x−y,x+z) •1 Ecrire la matrice M de cette application dans la base canonique B de R^3 •2 Calculer f(1,2,3)de 2 manieres differentes −en utilisant la definition de f −en utilisant la matrice M •3 determiner bsse de Ker( f) et de Im(f) •4 soient v_1 =(1,1,0) v_2 =(1,2,1) v_3 =(1,3,1) Montrer que la famille E=(v_1 , v_2 , v_3 )est une base de R^3 •5Calculer f(v_1 ) donner ses coordonnes(locus) dans bass E avec f(v_2 )=v_1 +6v_2 −4v_3 f(v_3 )=2v_1 +8v_2 −6v_3 •6 Ecrire la matrice N de f dans base F •7 Retrouver cette matrice a partir de M en utilisant la formule de changement de base


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Question Number 204478 by a.lgnaoui last updated on 18/Feb/24

$soit f : R^{3} \to R^{3} f (x, y, z) = (x + y, 2 x - y, x + z)$ $∙ 1 Ecrire la matrice M de cette application$ $dans la base canonique B de R^{3}$ $∙ 2 Calculer f (1, 2, 3) de 2 manieres differentes$ $- en utilisant la definition de f$ $- en utilisant la matrice M$ $∙ 3 determiner bsse de Ker (f) et de I m (f)$ $∙ 4 soient v_{1} = (1, 1, 0) v_{2} = (1, 2, 1) v_{3} = (1, 3, 1)$ $Montrer que la famille E = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) est$ $une base de R^{3}$ $∙ 5 Calculer f (v_{1}) donner ses coordonnes (locus)$ $dans bass E$ $avec f (v_{2}) = v_{1} + {6 v}_{2} - {4 v}_{3}$ $f (v_{3}) = {2 v}_{1} + {8 v}_{2} - {6 v}_{3}$ $∙ 6 Ecrire la matrice N de f dans base F$ $∙ 7 Retrouver cette matrice a partir de M$ $en utilisant la formule de changement de base$
	Answered by A5T last updated on 21/Feb/24

	$1 . f (x, y, z) = (x + y + 0 z, 2 x - y + 0 z, x + 0 y + z)$ $\Rightarrow (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} a x + b y + c z \\ d x + e y + f z \\ g x + h y + i z \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} x + y + 0 z \\ 2 x - y + 0 z \\ x + 0 y + z \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ $2 . f (1, 2, 3) = (3, 0, 4)$ $3 . K e r (f) = (x, y, z) s . t . f (x, y, z) = (0, 0, 0)$ $\Rightarrow x + y = 0, 2 x - y = 0, x + z = 0 \Rightarrow x = - y = - 2 x \Rightarrow x = 0$ $\Rightarrow y = 0 \Rightarrow z = 0 \Rightarrow K e r (f) = (0, 0, 0)$
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