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Question Number 205656 by SANOGO last updated on 26/Mar/24

Answered by TheHoneyCat last updated on 31/Mar/24

$$\left(2\right)\Rightarrow \left(1\right)$$$$\mathrm{Soit}c\in {\mathbb{R}}^{\ast }\mathrm{tel}\mathrm{que}\mathrm{\forall }x\in X\mid \mid T\left(x\right)\mid {\mid }_Y⩾c\mid \mid x\mid {\mid }_X$$$$\mathrm{Soit}(x,x^{\prime })\in X^2$$$$\mid \mid T\left(x\right)-T\left(x^{\prime }\right)\mid \mid$$$$=\mid \mid T(x-x^{\prime })\mid \mid$$$$⩾c\mid \mid x-x^{\prime }\mid \mid$$$$$$$$T\left(x\right)=T\left(x^{\prime }\right)$$$$\Rightarrow T\left(x\right)-T\left(x^{\prime }\right)=0$$$$\Rightarrow \mid \mid T\left(x\right)-T\left(x^{\prime }\right)\mid \mid =0$$$$\Rightarrow c\mid \mid x-x^{\prime }\mid \mid =0$$$$\Rightarrow \mid \mid x-x^{\prime }\mid \mid =0$$$$\Rightarrow x-x^{\prime }=0$$$$\Rightarrow x=x^{\prime }$$$$\mathrm{Donc}\left(2\right)\Rightarrow T\mathrm{injectif}$$$$$$$$\mathrm{Soit}\left(t_n\right)\mathrm{une}\mathrm{suite}\mathrm{de}\mathrm{Im}\left(X\right)\mathrm{convergente}$$$$\mathrm{dans}Y.$$$$\mathrm{Puisque}\left(t_n\right)\in \mathrm{Im}{\left(X\right)}^{\mathbb{N}},\mathrm{\exists }\left(x_n\right)\in X^{\mathbb{N}}{t}_n=T\left(x_n\right)$$$$\left(t_n\right)\mathrm{etant}\mathrm{convergente},{\mathrm{c}}^{\prime }\mathrm{est}\mathrm{une}\mathrm{suite}\mathrm{de}$$$$\mathrm{Cauchy}.$$$${\mathrm{L}}^{\prime }\mathrm{inegalite}\mathrm{sur}T\mathrm{permet}\mathrm{de}\mathrm{deduire}$$$$\left({\mathrm{c}}^{\prime }\mathrm{est}\mathrm{chiant}\mathrm{et}\mathrm{trivial}\mathrm{a}\mathrm{ecrire}\mathrm{donc}\mathrm{je}\mathrm{skip}\right)$$$$\mathrm{que}\left(x_n\right)\mathrm{est}\mathrm{aussi}\mathrm{une}\mathrm{suite}\mathrm{de}\mathrm{Cauchy}.$$$$\mathrm{Or}X\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{espace}\mathrm{de}\mathrm{Banach},\mathrm{donc}\left(x_n\right)$$$$\mathrm{converge}.\mathrm{Notant}{x}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{cette}\mathrm{limite}$$$$\mathrm{Encore}\mathrm{un}\mathrm{coup}{\mathrm{d}}^{\prime }\mathrm{inegalite}\mathrm{chiante}$$$$\mathrm{en}\mathrm{utilisant}{\mathrm{l}}^{\prime }\mathrm{inegalite}\mathrm{de}T,\mathrm{mais}\mathrm{aussi}\mathrm{la}$$$$\mathrm{linearite}\mathrm{de}T\mathrm{et}\mathrm{on}\mathrm{obtient}\mathrm{que}T\left(x_{\mathrm{\infty }}\right)=t_{\mathrm{\infty }}$$$${\mathrm{d}}^{\prime }\mathrm{ou}\mathrm{on}\mathrm{deduit}\mathrm{la}\mathrm{fermeture}\mathrm{de}\mathrm{Im}\left(X\right)...$$

Answered by TheHoneyCat last updated on 31/Mar/24

$$\mathrm{non}\left(2\right)\Rightarrow \mathrm{non}\left(1\right)$$$$\mathrm{Une}\mathrm{facon}\mathrm{de}\mathrm{definir}c\mathrm{est}:$$$$c:=\mathrm{Sup}\{\mathrm{Inf}\{c_x:\mid \mid T\left(x\right)\mid \mid ⩾c_x\mid \mid x\mid \mid \},x\in X\}$$$$\mathrm{Si}\left(2\right){\mathrm{n}}^{\prime }\mathrm{est}pas\mathrm{verifie},\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{tout}\mathrm{simplement}$$$$c=+\mathrm{\infty }.$$$$$$$$\mathrm{Donc}\mathrm{on}\mathrm{peut}\mathrm{trouver}\left(x_n\right)\mathrm{tel}\mathrm{que}{c}_{x_n}\to +\mathrm{\infty }$$$$\mathrm{Donc}(\mathrm{en}\mathrm{renormalisant}{x}_n\mathrm{et}\mathrm{enlevant}\mathrm{les}$$$$\mathrm{termes}\mathrm{nulles},\mathrm{pour}\mathrm{avoir}\mid \mid T\left(x_n\right)\mid \mid =1)\mathrm{on}\mathrm{obtient}$$$$\mid \mid T\left(x_n\right)\mid \mid \mathrm{qui}\mathrm{ne}\mathrm{peut}\mathrm{converger},\mathrm{car}\mathrm{les}{x}_n\mathrm{eux}$$$$\mathrm{tendent}\mathrm{vers}0.$$$$\mathrm{La}\mathrm{encore}{\mathrm{j}}^{\prime }\mathrm{explicite}\mathrm{pas}\mathrm{les}\mathrm{inegalite}\mathrm{par}\mathrm{flemme}.$$$$\mathrm{Mais}\mathrm{je}\mathrm{pense}\mathrm{que}{\mathrm{c}}^{\prime }\mathrm{est}\mathrm{bon}.$$$$$$$$sijamaisvousredigezledetailetqueca$$$$marchepas...mettezmoiencommentaire$$$$lesoucietjemismetplusserieusement...$$

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