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Question Number 207150 by Wuji last updated on 07/May/24

$$\mathrm{Expression}\mathrm{of}\mathrm{protein}\mathrm{is}\mathrm{controlled}$$$$\mathrm{by}\mathrm{an}\mathrm{external}\mathrm{S}.\mathrm{the}\mathrm{protein}\mathrm{also}\mathrm{controls}$$$$\mathrm{its}\mathrm{own}\mathrm{exprexxion}\mathrm{by}\mathrm{a}\mathrm{negative}\mathrm{feedback}.$$$$\mathrm{The}\mathrm{fol}<\mathrm{lwing}\mathrm{system}\mathrm{of}\mathrm{ODEs}\mathrm{represents}$$$$\mathrm{the}\mathrm{dynamics}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{system},\mathrm{with}$$$$\mathrm{m}\mathrm{and}\mathrm{p}\mathrm{representing}\mathrm{mRNA}\mathrm{and}$$$$\mathrm{protein}\mathrm{respectively},\mathrm{prove}\mathrm{that}\mathrm{for}$$$$\mathrm{any}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{S}⩾0,\mathrm{the}\mathrm{steady}\mathrm{state}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{system}\mathrm{is}\mathrm{spiral}\mathrm{sink}$$$$\frac{\mathrm{dm}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{S}}{1+\mathrm{S}}+\frac{1}{1+\mathrm{P}}-\mathrm{m}\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{m}-\mathrm{p}$$

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