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Question Number 20939 by Hitler last updated on 08/Sep/17

Demostration of the volume of an sphere V=((4πr^3 )/3) x^2 +y^2 +z^2 =r^2 We divide the sphere in 8 parts. So the volume of a part is ∫_0 ^( r) ∫_0 ^( (√(r^2 −x^2 ))) (√(r^2 −x^2 −y^2 ))∂y∂x Lets asumme a^2 =r^2 −x^2 ∫_0 ^( r) ∫_0 ^( a) (√(a^2 −y^2 ))∂y∂x ∫_0 ^( r) a∫_0 ^( a) (√(1−((y/a))^2 ))∂y∂x Lets assume (y/a)=sinθ⇒(∂y/a)=cosθ∂θ ∫(√(1−sin^2 θ))acosθ∂θ ∫acos^2 θ∂θ a((θ/2)−((sin2θ)/4)) a(((arcsin((y/a)))/2)−((y(√(a^2 −y^2 )))/(2a^2 ))) ∫_0 ^( r) a^2 (((arcsin((y/a)))/2)−((y(√(a^2 −y^2 )))/(2a^2 )))∣_0 ^a ∂x ∫_0 ^( r) (((a^2 arcsin((y/a))−y(√(a^2 −y^2 )))/2))∣_0 ^a ∂x ∫_0 ^( r) ((πa^2 )/4)∂x ∫_0 ^( r) ((π(r^2 −x^2 ))/4)∂x (((6πr^2 x−2πx^3 )/(24)))∣_0 ^r ((πr^3 )/6)=1/8Volume of the sphrere so... V=((4πr^3 )/3)

$$\mathrm{Demostration}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{sphere}\:\mathrm{V}=\frac{\mathrm{4}\pi\mathrm{r}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{We}\:\mathrm{divide}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sphere}\:\mathrm{in}\:\mathrm{8}\:\mathrm{parts}.\:\mathrm{So}\:\mathrm{the}\:\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{part}\:\mathrm{is} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \int_{\mathrm{0}} ^{\:\sqrt{\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \sqrt{\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\partial\mathrm{y}\partial\mathrm{x}\:\:\mathrm{Lets}\:\mathrm{asumme}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\partial\mathrm{y}\partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \mathrm{a}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{2}} }\partial\mathrm{y}\partial\mathrm{x}\:\mathrm{Lets}\:\mathrm{assume}\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}=\mathrm{sin}\theta\Rightarrow\frac{\partial\mathrm{y}}{\mathrm{a}}=\mathrm{cos}\theta\partial\theta \\ $$$$\int\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta}\mathrm{acos}\theta\partial\theta \\ $$$$\int\mathrm{acos}^{\mathrm{2}} \theta\partial\theta \\ $$$$\mathrm{a}\left(\frac{\theta}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{sin2}\theta}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{a}\left(\frac{\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)−\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \frac{\pi\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \frac{\pi\left(\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{4}}\partial\mathrm{x} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{6}\pi\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{2}\pi\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{24}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{r}} \\ $$$$\frac{\pi\mathrm{r}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}=\mathrm{1}/\mathrm{8Volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sphrere}\:\mathrm{so}... \\ $$$$\mathbb{V}=\frac{\mathrm{4}\pi\mathrm{r}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\: \\ $$$$ \\ $$

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