Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

None Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in None      Next in None      

Question Number 21264 by AKBAR ALU HUSAIN last updated on 18/Sep/17

2x+3y+2z=2

$$\mathrm{2x}+\mathrm{3y}+\mathrm{2z}=\mathrm{2} \\ $$

Answered by mrW1 last updated on 18/Sep/17

assumed x,y,z∈Z 2x+3y=u u+2z=2 for u+2z=2 we get a particular solution u_1 =−2, z_1 =2 ⇒u=−2+2m=−2(1−m)=−2i ⇒z=2−m=1+(1−m)=1+i for 2x+3y=1 we get a particular solution x_1 =2, y_1 =−1 ⇒x=2+3k ⇒y=−1−2k for 2x+3y=u we have then ⇒x=(2+3k)u=2(−2i)+3ku=−4i+3ku=−4i+3j ⇒y=(−1−2k)u=−(−2i)−2ku=2i−2ku=2i−2j the general solution for 2x+3y+2z=2 is: x=−4i+3j y=2i−2j z=1+i with i,j∈Z check: 2x+3y+2z =2(−4i+3j)+3(2i−2j)+2(1+i) =−8i+6j+6i−6j+2+2i =2 ⇒ ok

$$\mathrm{assumed}\:\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\in\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{3y}=\mathrm{u} \\ $$$$\mathrm{u}+\mathrm{2z}=\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{for}\:\boldsymbol{\mathrm{u}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{2}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2},\:\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}=−\mathrm{2}+\mathrm{2m}=−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{m}\right)=−\mathrm{2i} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{2}−\mathrm{m}=\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{m}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{i} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{y}}=\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2},\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{2}+\mathrm{3k} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=−\mathrm{1}−\mathrm{2k} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{y}}=\boldsymbol{\mathrm{u}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{then} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\left(\mathrm{2}+\mathrm{3k}\right)\mathrm{u}=\mathrm{2}\left(−\mathrm{2i}\right)+\mathrm{3ku}=−\mathrm{4i}+\mathrm{3ku}=−\mathrm{4i}+\mathrm{3j} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2k}\right)\mathrm{u}=−\left(−\mathrm{2i}\right)−\mathrm{2ku}=\mathrm{2i}−\mathrm{2ku}=\mathrm{2i}−\mathrm{2j} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{y}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{2}\:\mathrm{is}: \\ $$$$\mathrm{x}=−\mathrm{4i}+\mathrm{3j} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{2i}−\mathrm{2j} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{1}+\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{i},\mathrm{j}\in\mathbb{Z} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{check}: \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{3y}+\mathrm{2z} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(−\mathrm{4i}+\mathrm{3j}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{2i}−\mathrm{2j}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right) \\ $$$$=−\mathrm{8i}+\mathrm{6j}+\mathrm{6i}−\mathrm{6j}+\mathrm{2}+\mathrm{2i} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{ok} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com