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Question Number 21913 by Tinkutara last updated on 06/Oct/17
$$\mathrm{Let}\:{a}_{{n}} \:\mathrm{denote}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{all}\:{n}-\mathrm{digit} \\ $$$$\mathrm{positive}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{formed}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{digits} \\ $$$$\mathrm{0},\:\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{both}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{no}\:\mathrm{consecutive} \\ $$$$\mathrm{digits}\:\mathrm{in}\:\mathrm{them}\:\mathrm{are}\:\mathrm{0}.\:\mathrm{Let}\:{b}_{{n}} \:=\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{such}\:{n}-\mathrm{digit}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{ending} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:{c}_{{n}} \:=\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{such}\:{n}-\mathrm{digit}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{ending}\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{digit}\:\mathrm{0}. \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{Which}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{is}\:\mathrm{correct}? \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{a}_{\mathrm{17}} \:=\:{a}_{\mathrm{16}} \:+\:{a}_{\mathrm{15}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{c}_{\mathrm{17}} \:\neq\:{c}_{\mathrm{16}} \:+\:{c}_{\mathrm{15}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{b}_{\mathrm{17}} \:\neq\:{b}_{\mathrm{16}} \:+\:{c}_{\mathrm{16}} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:{a}_{\mathrm{17}} \:=\:{c}_{\mathrm{17}} \:+\:{b}_{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{b}_{\mathrm{6}} \:\mathrm{is} \\ $$