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Question Number 21933 by Tinkutara last updated on 07/Oct/17

$$\mathrm{Let}{n}_1<n_2<n_3<n_4<n_5\mathrm{be}\mathrm{positive}$$ $$\mathrm{integers}\mathrm{such}\mathrm{that}{n}_1+n_2+n_3+n_4+$$ $$n_5=20.\mathrm{Then}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{such}$$ $$\mathrm{distinct}\mathrm{arrangements}(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)$$ $$\mathrm{is}$$

Commented bymrW1 last updated on 08/Oct/17

$$7?$$ $$123410$$ $$12359$$ $$12368$$ $$12458$$ $$12467$$ $$12456\Rightarrow \mathrm{should}\mathrm{be}13457$$ $$23456$$

Commented byRasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17

$$1+3+4+5+7$$

Commented byRasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{line}\mathrm{number}\mathrm{last}\mathrm{but}\mathrm{one}$$ $$12456$$ $$1+2+4+5+6=18?$$ $$\mathrm{If}\mathrm{this}\mathrm{line}\mathrm{is}\mathrm{replaced}\mathrm{by}$$ $$13457$$ $$\mathrm{the}\mathrm{answer}\mathrm{is}7\mathrm{yet}$$

Commented byTinkutara last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{mrW}1,\mathrm{why}\mathrm{you}{\mathrm{don}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{take}1+3+4+5+7?$$ $$\mathrm{But}\mathrm{your}\mathrm{answer}7\mathrm{is}\mathrm{correct}.$$

Commented bymrW1 last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{to}\mathrm{you}\mathrm{both}!\mathrm{I}\mathrm{made}\mathrm{a}\mathrm{mistake}.$$ $$13457\mathrm{is}\mathrm{correct},\mathrm{not}12456.$$

Commented bymrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{Certainly}\mathrm{we}{\mathrm{don}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{need}\mathrm{to}\mathrm{list}\mathrm{all}\mathrm{the}$$ $$\mathrm{concrete}\mathrm{solutions}\mathrm{if}\mathrm{we}\mathrm{only}\mathrm{need}\mathrm{to}$$ $$\mathrm{know}\mathrm{how}\mathrm{many}\mathrm{solutions}\mathrm{exist}.\mathrm{Besides}$$ $$\mathrm{for}\mathrm{large}\mathrm{numbers},\mathrm{for}\mathrm{example}100\mathrm{instead}$$ $$\mathrm{of}20,{\mathrm{it}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{not}\mathrm{easy}\mathrm{to}\mathrm{list}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{possible}$$ $$\mathrm{solutions}.$$ $$$$ $$\mathrm{We}\mathrm{need}\mathrm{to}\mathrm{know}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{solutions}\mathrm{for}$$ $${\mathrm{n}}_1+{\mathrm{n}}_2+{\mathrm{n}}_3+{\mathrm{n}}_4+{\mathrm{n}}_5=20$$ $$\mathrm{under}\mathrm{the}\mathrm{condition}$$ $$1⩽{\mathrm{n}}_1<{\mathrm{n}}_2<{\mathrm{n}}_3<{\mathrm{n}}_4<{\mathrm{n}}_5$$ $$$$ $$\mathrm{if}\mathrm{we}\mathrm{replace}$$ $${\mathrm{n}}_1={\mathrm{a}}_1+1$$ $${\mathrm{n}}_2={\mathrm{a}}_2+2$$ $${\mathrm{n}}_3={\mathrm{a}}_3+3$$ $${\mathrm{n}}_4={\mathrm{a}}_4+4$$ $${\mathrm{n}}_5={\mathrm{a}}_5+5$$ $$\mathrm{then}$$ $$\mathrm{the}\mathrm{equation}{\mathrm{n}}_1+{\mathrm{n}}_2+{\mathrm{n}}_3+{\mathrm{n}}_4+{\mathrm{n}}_5=20$$ $$\mathrm{will}\mathrm{change}\mathrm{to}{\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_2+{\mathrm{a}}_3+{\mathrm{a}}_4+{\mathrm{a}}_5=5$$ $$\mathrm{and}$$ $$\mathrm{the}\mathrm{condiction}1⩽{\mathrm{n}}_1<{\mathrm{n}}_2<{\mathrm{n}}_3<{\mathrm{n}}_4<{\mathrm{n}}_5$$ $$\mathrm{will}\mathrm{change}\mathrm{to}0⩽{\mathrm{a}}_1⩽{\mathrm{a}}_2⩽{\mathrm{a}}_3⩽{\mathrm{a}}_4⩽{\mathrm{a}}_5$$ $$$$ $$\mathrm{but}$$ $$\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{solutions}\mathrm{of}$$ $${\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_2+{\mathrm{a}}_3+{\mathrm{a}}_4+{\mathrm{a}}_5=5$$ $$\mathrm{under}\mathrm{the}\mathrm{condition}$$ $$0⩽{\mathrm{a}}_1⩽{\mathrm{a}}_2⩽{\mathrm{a}}_3⩽{\mathrm{a}}_4⩽{\mathrm{a}}_5$$ $$\mathrm{means}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{partitions}\mathrm{of}$$ $$\mathrm{the}\mathrm{integer}5\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{denoted}\mathrm{by}$$ $$\mathrm{P}\left(5\right).$$ $$$$ $$\mathrm{P}\left(5\right)=7\Rightarrow \mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{solutions}\mathrm{is}7.$$ $$$$ $$\mathrm{the}7\mathrm{partitions}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{integer}5\mathrm{are}:$$ $${\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_2+{\mathrm{a}}_3+{\mathrm{a}}_4+{\mathrm{a}}_5\Rightarrow {\mathrm{n}}_1{\mathrm{n}}_2{\mathrm{n}}_3{\mathrm{n}}_4{\mathrm{n}}_5$$ $$00005123410$$ $$0001412359$$ $$0002312368$$ $$0011312458$$ $$0012212467$$ $$0111213457$$ $$1111123456$$

Commented byTinkutara last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{Is}\mathrm{there}\mathrm{any}\mathrm{formula}\mathrm{for}\mathrm{partitions}?$$ $$\mathrm{How}\mathrm{to}\mathrm{list}\mathrm{P}\left(85\right)?$$

Commented bymrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{there}\mathrm{is}\mathrm{no}\mathrm{formula}\mathrm{to}\mathrm{calculate}\mathrm{the}$$ $$\mathrm{integer}\mathrm{partitions}\mathrm{directly}.\mathrm{usually}\mathrm{we}$$ $$\mathrm{use}\mathrm{generating}\mathrm{functions}.$$

Commented byTinkutara last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{Got}\mathrm{it}.$$

Commented bymrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{mr}.\mathrm{ajfour}\mathrm{had}\mathrm{an}\mathrm{example}\mathrm{in}\mathrm{Q}21802$$ $$\mathrm{for}\mathrm{using}\mathrm{generating}\mathrm{function}\mathrm{to}\mathrm{find}$$ $$\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{integer}\mathrm{solutions}.\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}$$ $$\mathrm{really}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{but}\mathrm{a}\mathrm{method}.$$

Commented bymrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{see}\mathrm{also}\mathrm{Q}21800$$

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