Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Permutation and Combination Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Permutation and Combination      Next in Permutation and Combination      

Question Number 22042 by Tinkutara last updated on 10/Oct/17

Determine the number of ordered pairs of positive integers (a, b) such that the least common multiple of a and b is 2^3 ∙5^7 ∙11^(13) .

$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ordered} \\ $$$$\mathrm{pairs}\:\mathrm{of}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integers}\:\left({a},\:{b}\right)\:\mathrm{such} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{least}\:\mathrm{common}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:{a} \\ $$$$\mathrm{and}\:{b}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \centerdot\mathrm{5}^{\mathrm{7}} \centerdot\mathrm{11}^{\mathrm{13}} . \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Oct/17

Case-1: a=2^(<3) .5^(<7) .11^(<13) a=2^(0,1,2) .5^(0,..,6) .11^(0,..,12) a can be chosen in 3.7.13=273 ways b=2^3 .5^7 .11^(13) b can be chosen in 1.1.1=1 way. Numb. of ways of (a,b)=273.1=273 Case-2: a=2^(<3) .5^(<7) .11^(13) a=2^(0,1,2) .5^(0,..,6) .11^(13) a can be chosen in 3.7.1=21 ways. b=2^3 .5^7 .11^(0,1...13) b can be chosen 1×1×14=14 ways. No of (a,b)=21.14=294 Case-3: a=2^(<3) .5^7 .11^(<13) a=2^(0,1,2) .5^7 .11^(0,..,12) a can be chosen in 3.1.13=39 b=2^3 .5^(0,..7) .11^(13) b can be chosen in 1.8.1=8 ways No of (a,b)=39.8=312 Case-4: a=2^(<3) .5^7 .11^(13) a=2^(0,1,2) .5^7 .11^(13) a can be chosen in 3.1.1=3 ways. b=2^3 .5^(0,..7) .11^(0,...13) b can be chosen 1.8.14=112 ways No of ways for (a,b)=3×112=336 Case-5: a=2^3 .5^(<7) .11^(<13) a=2^3 .5^(0,..,6) .11^(0,..,12) a can be chosen in 1.7.13=91 b=2^(0,..3) .5^7 .11^(13) b can be chosen in 4.1.1=4 ways. No of ways for (a,b)=91×4=364 Case-6: a=2^3 .5^(<7) .11^(13) a=2^3 .5^(0,..,6) .11^(13) a can be chosen in 1.7.1=7 ways b=2^(0,..3) .5^7 .11^(0,..13) b can be chosen in 4.1.14=56 ways. No of ways for (a,b)=7×56=392 Case-7: a=2^3 .5^7 .11^(<13) a=2^3 .5^7 .11^(0,..,12) a can be chosen in 1.1.13=13 ways. b=2^(0,..,3) .5^(0,..,7) .11^(13) b can be chosen in 4.8.1=32 ways No. of ways for (a,b)=13×32=416 Case-8:a=2^3 .5^7 .11^(13) a can be chosen in 1.1.1=1 way. b=2^(≤3) .5^(≤7) .11^(≤13) b can be chosen in 4.8.14=448 ways. No. of ways for (a,b)=1×448=448 ways. Total no. of ways for (a,b): 273+294+312+336+364+392+416+448 =2835

$$\mathrm{Case}-\mathrm{1}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{7}.\mathrm{13}=\mathrm{273}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \: \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{1}\:\mathrm{way}. \\ $$$$\:\mathrm{Numb}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{of}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{273}.\mathrm{1}=\mathrm{273} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{2}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{7}.\mathrm{1}=\mathrm{21}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},\mathrm{1}...\mathrm{13}} \\ $$$$\:{b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{1}×\mathrm{1}×\mathrm{14}=\mathrm{14}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{21}.\mathrm{14}=\mathrm{294} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{3}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{1}.\mathrm{13}=\mathrm{39} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{8}.\mathrm{1}=\mathrm{8}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{39}.\mathrm{8}=\mathrm{312} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{4}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{3}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},...\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{1}.\mathrm{8}.\mathrm{14}=\mathrm{112}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{3}×\mathrm{112}=\mathrm{336} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{5}:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{7}.\mathrm{13}=\mathrm{91} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},..\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{4}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{91}×\mathrm{4}=\mathrm{364} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{6}:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{7}.\mathrm{1}=\mathrm{7}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},..\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{1}.\mathrm{14}=\mathrm{56}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{7}×\mathrm{56}=\mathrm{392} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{7}:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{1}.\mathrm{13}=\mathrm{13}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},..,\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{8}.\mathrm{1}=\mathrm{32}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{No}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{13}×\mathrm{32}=\mathrm{416} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{8}:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{1}\:\mathrm{way}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\leqslant\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\leqslant\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\leqslant\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{8}.\mathrm{14}=\mathrm{448}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\mathrm{No}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{1}×\mathrm{448}=\mathrm{448}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Total}\:\mathrm{no}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right): \\ $$$$\mathrm{273}+\mathrm{294}+\mathrm{312}+\mathrm{336}+\mathrm{364}+\mathrm{392}+\mathrm{416}+\mathrm{448} \\ $$$$=\mathrm{2835} \\ $$

Commented by Tinkutara last updated on 13/Oct/17

Thank you very much Sir!

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com